Ông Hùng muốn thiết kế một chiếc bể cá không có nắp đậy hình hộp chữ nhật có chiều cao 50cm, thể tích là 90000cm^3. Người thợ dùng loại kính làm mặt bên giá 60 nghìn đồng/m² và mặt đáy giá 90 nghìn đồn...

Để giải bài toán này, ta cần tìm kích thước của bể cá sao cho chi phí làm bể là thấp nhất. Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của bể cá lần lượt là \( x \), \( y \), và \( h \) (đơn vị cm). Theo đề bài, chiều cao \( h = 50 \) cm và thể tích của bể cá là 90000 cm³. Do đó, ta có phương trình: \[ x \cdot y \cdot h = 90000 \] Thay \( h = 50 \) vào phương trình trên, ta được: \[ x \cdot y \cdot 50 = 90000 \implies x \cdot y = \frac{90000}{50} = 1800 \] Chi phí làm bể cá bao gồm chi phí làm mặt đáy và chi phí làm các mặt bên. Chi phí làm mặt đáy là 90 nghìn đồng/m² và chi phí làm các mặt bên là 60 nghìn đồng/m². Diện tích mặt đáy là \( x \cdot y \) (cm²), do đó chi phí làm mặt đáy là: \[ \text{Chi phí mặt đáy} = 90 \times \frac{x \cdot y}{10000} = 90 \times \frac{1800}{10000} = 16.2 \text{ nghìn đồng} \] Diện tích các mặt bên là \( 2(x + y) \cdot h \) (cm²), do đó chi phí làm các mặt bên là: \[ \text{Chi phí mặt bên} = 60 \times \frac{2(x + y) \cdot 50}{10000} = 60 \times \frac{100(x + y)}{10000} = 6(x + y) \text{ nghìn đồng} \] Tổng chi phí là: \[ C = 16.2 + 6(x + y) \] Để tối thiểu hóa chi phí \( C \), ta cần tối thiểu hóa \( x + y \) với điều kiện \( x \cdot y = 1800 \). Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \[ x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{1800} = 2 \times 42.4264 \approx 84.8528 \] Dấu "=" xảy ra khi \( x = y \). Do đó, \( x = y = \sqrt{1800} \approx 42.4264 \). Với \( x = y = \sqrt{1800} \), ta có: \[ x + y = 2 \times 42.4264 \approx 84.8528 \] Thay vào công thức chi phí: \[ C = 16.2 + 6 \times 84.8528 \approx 16.2 + 509.1168 = 525.3168 \] Làm tròn đến hàng đơn vị, chi phí thấp nhất để làm bể cá là 525 nghìn đồng.