Giúp mình với!

Câu 3: a) Mệnh đề này sai vì vận tốc ban đầu của viên đạn đã cho trong đề bài là 270 m/s, không phải 295 m/s. b) Để kiểm tra mệnh đề này, chúng ta cần tính vận tốc của viên đạn sau 2 giây. Vận tốc của viên đạn tại thời điểm t được cho bởi đạo hàm của h(t) theo t: \[ v(t) = \frac{dh}{dt} = 270 - 10t \] Thay t = 2 vào công thức trên: \[ v(2) = 270 - 10 \cdot 2 = 270 - 20 = 250 \text{ m/s} \] Vậy mệnh đề này đúng. c) Để tìm thời điểm viên đạn đạt độ cao lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị của t sao cho vận tốc bằng 0 (vì tại đỉnh, vận tốc sẽ bằng 0): \[ 270 - 10t = 0 \] \[ 10t = 270 \] \[ t = 27 \text{ giây} \] Vậy mệnh đề này sai vì viên đạn đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm t = 27 giây, không phải 25 giây. d) Để tìm độ cao lớn nhất của viên đạn, chúng ta thay t = 27 vào công thức h(t): \[ h(27) = 25 + 270 \cdot 27 - 5 \cdot 27^2 \] \[ h(27) = 25 + 7290 - 5 \cdot 729 \] \[ h(27) = 25 + 7290 - 3645 \] \[ h(27) = 25 + 3645 \] \[ h(27) = 3670 \text{ mét} \] Vậy mệnh đề này đúng. Tóm lại: a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng Câu 4: a) Ta có \( y' = x^2 - 4x + 3 \). Vậy khẳng định này đúng. b) Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] \[ \Leftrightarrow (x - 1)(x - 3) = 0 \] \[ \Leftrightarrow x = 1 \text{ hoặc } x = 3 \] Vậy phương trình \( y' = 0 \) có hai nghiệm là 1 và 3. Khẳng định này sai vì viết nhầm thứ tự nghiệm. c) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có \( x = 0 \): \[ y(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - 2(0)^2 + 3(0) + 1 = 1 \] Vậy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1. Khẳng định này sai. d) Để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([0; 4]\), ta cần xét các giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn. Các điểm tới hạn là các nghiệm của phương trình \( y' = 0 \): \[ x = 1 \text{ và } x = 3 \] Tính giá trị của hàm số tại các điểm này và tại các đầu mút: \[ y(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - 2(0)^2 + 3(0) + 1 = 1 \] \[ y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1) + 1 = \frac{1}{3} - 2 + 3 + 1 = \frac{7}{3} \] \[ y(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - 2(3)^2 + 3(3) + 1 = 9 - 18 + 9 + 1 = 1 \] \[ y(4) = \frac{1}{3}(4)^3 - 2(4)^2 + 3(4) + 1 = \frac{64}{3} - 32 + 12 + 1 = \frac{64}{3} - 19 = \frac{64 - 57}{3} = \frac{7}{3} \] So sánh các giá trị này, ta thấy: \[ \min_{[0; 4]} y = 1 \] \[ \max_{[0; 4]} y = \frac{7}{3} \] Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([0; 4]\) lần lượt là 1 và \(\frac{7}{3}\). Khẳng định này đúng. Câu 1: Để tìm khoảng nhiệt độ $(a^+; b^+)$ mà trong khoảng đó khi nhiệt độ tăng thì thể tích $V$ của 1kg nước cũng tăng, ta cần tìm khoảng mà đạo hàm của $V$ theo $T$ dương. Bước 1: Tìm đạo hàm của $V$ theo $T$: \[ V = 909,87 - 0,06426T + 0,0085043T^2 - 0,0000679T^3 \] Đạo hàm $V$ theo $T$: \[ V' = -0,06426 + 2 \cdot 0,0085043T - 3 \cdot 0,0000679T^2 \] \[ V' = -0,06426 + 0,0170086T - 0,0002037T^2 \] Bước 2: Tìm các giá trị của $T$ sao cho $V' > 0$: \[ -0,06426 + 0,0170086T - 0,0002037T^2 > 0 \] Bước 3: Giải bất phương trình bậc hai: \[ -0,0002037T^2 + 0,0170086T - 0,06426 > 0 \] Ta giải phương trình: \[ -0,0002037T^2 + 0,0170086T - 0,06426 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ T = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó: \[ a = -0,0002037 \] \[ b = 0,0170086 \] \[ c = -0,06426 \] Tính biệt thức $\Delta$: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] \[ \Delta = (0,0170086)^2 - 4(-0,0002037)(-0,06426) \] \[ \Delta = 0,0002893 - 0,0000523 \] \[ \Delta = 0,000237 \] Tìm nghiệm $T_1$ và $T_2$: \[ T_1 = \frac{-0,0170086 + \sqrt{0,000237}}{2(-0,0002037)} \] \[ T_1 = \frac{-0,0170086 + 0,0154}{-0,0004074} \] \[ T_1 = \frac{-0,0016086}{-0,0004074} \] \[ T_1 \approx 3,95 \] \[ T_2 = \frac{-0,0170086 - \sqrt{0,000237}}{2(-0,0002037)} \] \[ T_2 = \frac{-0,0170086 - 0,0154}{-0,0004074} \] \[ T_2 = \frac{-0,0324086}{-0,0004074} \] \[ T_2 \approx 79,55 \] Bước 4: Xác định khoảng $(a^+; b^+)$: \[ a = 4 \] \[ b = 79 \] Bước 5: Tính giá trị biểu thức $P = b - a$: \[ P = 79 - 4 \] \[ P = 75 \] Đáp số: $P = 75$ Câu 2: Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( f(x) = \frac{5x+1}{-x+5} \), ta cần xác định dạng của hàm số và tìm tâm đối xứng của nó. Hàm số \( f(x) = \frac{5x+1}{-x+5} \) là một hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, có dạng tổng quát là \( f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \). Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số này, ta cần đưa hàm số về dạng \( f(x) = \frac{A}{x - x_0} + B \), trong đó \((x_0, B)\) là tâm đối xứng. Ta thực hiện phép chia: \[ f(x) = \frac{5x+1}{-x+5} = -5 + \frac{26}{-x+5} \] Từ đó, ta có thể viết lại hàm số dưới dạng: \[ f(x) = -5 + \frac{26}{-(x-5)} \] Dễ thấy rằng hàm số có dạng \( f(x) = \frac{A}{x - x_0} + B \) với \( A = 26 \), \( x_0 = 5 \), và \( B = -5 \). Vậy, tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \( I(5, -5) \). Bây giờ, ta tính giá trị của biểu thức \( B = 2a - b \) với \( a = 5 \) và \( b = -5 \): \[ B = 2 \times 5 - (-5) = 10 + 5 = 15 \] Do đó, giá trị của biểu thức \( B = 2a - b \) là 15. Câu 3: Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x + 3} \), ta thực hiện phép chia đa thức tử số cho đa thức mẫu số. 1. Thực hiện phép chia: Chia \( x^2 - 3x + 2 \) cho \( x + 3 \): - Lấy \( x^2 \) chia cho \( x \), được \( x \). - Nhân \( x \) với \( x + 3 \), được \( x^2 + 3x \). - Lấy \( x^2 - 3x + 2 \) trừ đi \( x^2 + 3x \), được \( -6x + 2 \). - Lấy \( -6x \) chia cho \( x \), được \( -6 \). - Nhân \( -6 \) với \( x + 3 \), được \( -6x - 18 \). - Lấy \( -6x + 2 \) trừ đi \( -6x - 18 \), được \( 20 \). Vậy phép chia cho kết quả: \( x^2 - 3x + 2 = (x + 3)(x - 6) + 20 \). Do đó, ta có: \[ \frac{x^2 - 3x + 2}{x + 3} = x - 6 + \frac{20}{x + 3} \] 2. Xác định đường tiệm cận xiên: Khi \( x \to \pm \infty \), \( \frac{20}{x + 3} \to 0 \). Do đó, đường tiệm cận xiên là: \[ y = x - 6 \] Vậy \( a = 1 \) và \( b = -6 \). 3. Tính tổng \( 2a + b \): \[ 2a + b = 2 \times 1 + (-6) = 2 - 6 = -4 \] Kết luận: Tổng \( 2a + b = -4 \). Câu 4: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1} \) trên đoạn \([2; 4]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \): Hàm số \( f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1} \). Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ f'(x) = \frac{(x^2 + 3)'(x - 1) - (x^2 + 3)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: \[ (x^2 + 3)' = 2x \] \[ (x - 1)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 3)}{(x - 1)^2} \] Rút gọn tử số: \[ 2x(x - 1) - (x^2 + 3) = 2x^2 - 2x - x^2 - 3 = x^2 - 2x - 3 \] Vậy: \[ f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = 0 \] Điều này xảy ra khi tử số bằng 0: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Vì \( x = -1 \) không nằm trong đoạn \([2; 4]\), nên chỉ xét \( x = 3 \). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = \frac{2^2 + 3}{2 - 1} = \frac{4 + 3}{1} = 7 \] - Tại \( x = 3 \): \[ f(3) = \frac{3^2 + 3}{3 - 1} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] - Tại \( x = 4 \): \[ f(4) = \frac{4^2 + 3}{4 - 1} = \frac{16 + 3}{3} = \frac{19}{3} \approx 6.33 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất: Các giá trị đã tính: \[ f(2) = 7, \quad f(3) = 6, \quad f(4) \approx 6.33 \] Giá trị lớn nhất là \( 7 \). Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1} \) trên đoạn \([2; 4]\) là \( 7 \), đạt được khi \( x = 2 \). Câu 5: Để tìm giá trị cực đại của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số. \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn. \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Bước 3: Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số. \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6 \] Bước 4: Thay các điểm tới hạn vào đạo hàm bậc hai để kiểm tra tính chất của chúng. - Tại \( x = 0 \): \[ y''(0) = 6(0) - 6 = -6 \] Do \( y''(0) < 0 \), nên tại \( x = 0 \) hàm số đạt cực đại. - Tại \( x = 2 \): \[ y''(2) = 6(2) - 6 = 6 \] Do \( y''(2) > 0 \), nên tại \( x = 2 \) hàm số đạt cực tiểu. Bước 5: Tính giá trị của hàm số tại \( x = 0 \). \[ y(0) = (0)^3 - 3(0)^2 + 4 = 4 \] Vậy giá trị cực đại của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) là 4, đạt được khi \( x = 0 \). Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần tìm chiều dài, chiều rộng và chiều cao của bể cá sao cho dung tích của bể là lớn nhất, với điều kiện diện tích kính sử dụng là $5~m^2$. Gọi chiều rộng của bể cá là $x$ (m). Theo đề bài, chiều dài của bể cá là $2x$ (m). Gọi chiều cao của bể cá là $h$ (m). Diện tích kính sử dụng cho bể cá không nắp là tổng diện tích của đáy và 4 mặt bên. Cụ thể: - Diện tích đáy: $x \times 2x = 2x^2$. - Diện tích 2 mặt bên dài: $2 \times (2x \times h) = 4xh$. - Diện tích 2 mặt bên rộng: $2 \times (x \times h) = 2xh$. Tổng diện tích kính là: \[ 2x^2 + 4xh + 2xh = 2x^2 + 6xh. \] Theo đề bài, tổng diện tích kính là $5~m^2$, do đó: \[ 2x^2 + 6xh = 5. \] Ta cần tìm dung tích lớn nhất của bể cá, tức là tối ưu hóa thể tích $V$ của bể: \[ V = x \times 2x \times h = 2x^2h. \] Từ phương trình diện tích kính, ta có: \[ 6xh = 5 - 2x^2 \] \[ h = \frac{5 - 2x^2}{6x}. \] Thay $h$ vào biểu thức thể tích $V$: \[ V = 2x^2 \times \frac{5 - 2x^2}{6x} = \frac{2x(5 - 2x^2)}{6} = \frac{10x - 4x^3}{6} = \frac{5x - 2x^3}{3}. \] Để tìm giá trị lớn nhất của $V$, ta tính đạo hàm của $V$ theo $x$ và tìm nghiệm của phương trình $V'(x) = 0$. \[ V'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{5x - 2x^3}{3}\right) = \frac{5 - 6x^2}{3}. \] Giải phương trình $V'(x) = 0$: \[ \frac{5 - 6x^2}{3} = 0 \] \[ 5 - 6x^2 = 0 \] \[ 6x^2 = 5 \] \[ x^2 = \frac{5}{6} \] \[ x = \sqrt{\frac{5}{6}}. \] Với $x = \sqrt{\frac{5}{6}}$, ta tính $h$: \[ h = \frac{5 - 2\left(\sqrt{\frac{5}{6}}\right)^2}{6\sqrt{\frac{5}{6}}} = \frac{5 - \frac{10}{6}}{6\sqrt{\frac{5}{6}}} = \frac{\frac{20}{6} - \frac{10}{6}}{6\sqrt{\frac{5}{6}}} = \frac{\frac{10}{6}}{6\sqrt{\frac{5}{6}}} = \frac{5}{18\sqrt{\frac{5}{6}}}. \] Thay $x$ và $h$ vào biểu thức $V$: \[ V = \frac{5\sqrt{\frac{5}{6}} - 2\left(\sqrt{\frac{5}{6}}\right)^3}{3}. \] Tính toán giá trị này và làm tròn đến hàng phần trăm, ta có: \[ V \approx 0.68~m^3. \] Vậy, dung tích lớn nhất của bể cá là khoảng $0.68~m^3$.