Giải thích.. Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, BC = 2a Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = (a . sqrt15)/3 Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng A....

Câu 11: Để tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD), ta cần xác định góc giữa SC và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (ABCD). 1. Xác định hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD): Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) chính là điểm A. Do đó, hình chiếu của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABCD) là đoạn thẳng AC. 2. Tính độ dài AC: Đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a và BC = 2a. Do đó, AC là đường chéo của hình chữ nhật và có độ dài: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} \] 3. Tính độ dài SC: Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông SAC, ta có: \[ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{15}}{3}\right)^2 + (a\sqrt{5})^2} \] \[ = \sqrt{\frac{15a^2}{9} + 5a^2} = \sqrt{\frac{15a^2}{9} + \frac{45a^2}{9}} = \sqrt{\frac{60a^2}{9}} = \sqrt{\frac{20a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{20}}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \] 4. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD): Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) chính là góc giữa SC và AC. Ta có: \[ \cos \theta = \frac{AC}{SC} = \frac{a\sqrt{5}}{\frac{2a\sqrt{5}}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Do đó, góc \(\theta\) là \(30^\circ\). Vậy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là \(30^\circ\). Đáp án đúng là A. 30°. Câu 12: Để giải bài toán này, ta cần xác định góc giữa đường thẳng \( SC \) và mặt phẳng \( (SAB) \). 1. Xác định các yếu tố cơ bản: - Đáy \( ABCD \) là hình chữ nhật với \( AB = a \) và \( BC = 2a \). - \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABCD) \), do đó \( SA \) cũng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \( (ABCD) \). - Độ dài \( SA = \frac{a\sqrt{3}}{3} \). 2. Xác định đường thẳng giao tuyến: - Mặt phẳng \( (SAB) \) chứa các đường thẳng \( SA \) và \( AB \). - Đường thẳng \( SC \) cắt mặt phẳng \( (SAB) \) tại điểm \( S \). 3. Xác định hình chiếu của \( SC \) lên mặt phẳng \( (SAB) \): - Do \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABCD) \), nên hình chiếu của \( SC \) lên mặt phẳng \( (SAB) \) chính là hình chiếu của \( C \) lên đường thẳng \( AB \). - Gọi \( H \) là hình chiếu của \( C \) lên \( AB \). Vì \( AB \) là cạnh của hình chữ nhật, nên \( H \) là trung điểm của \( AB \) (vì \( C \) nằm trên đường trung trực của \( AB \) trong hình chữ nhật). 4. Tính góc giữa \( SC \) và mặt phẳng \( (SAB) \): - Ta cần tính góc \( \angle (SC, SH) \). - Tam giác \( SAC \) vuông tại \( A \) với \( SA = \frac{a\sqrt{3}}{3} \) và \( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} \). - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( SAC \), ta có: \[ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 + (a\sqrt{5})^2} = \sqrt{\frac{a^2 \cdot 3}{9} + 5a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{3} + 5a^2} = \sqrt{\frac{16a^2}{3}} = \frac{4a}{\sqrt{3}} \] - Góc \( \angle (SC, SH) \) chính là góc giữa \( SC \) và hình chiếu của nó lên \( (SAB) \), tức là góc \( \angle ASC \). - Ta có: \[ \cos \angle ASC = \frac{SA}{SC} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{4a}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \] - Do đó, góc \( \angle ASC = 60^\circ \). Vậy, góc giữa đường thẳng \( SC \) và mặt phẳng \( (SAB) \) là \( 60^\circ \). Đáp án đúng là D. 60°. Câu 13: Để giải bài toán này, ta cần xác định góc giữa đường thẳng \( SB \) và mặt phẳng \( (SAC) \). Bước 1: Xác định các yếu tố cơ bản của hình chóp - Đáy \( ABCD \) là hình chữ nhật với \( AB = a \) và \( BC = 2a \). - \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABCD) \), do đó \( SA \) cũng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \( (ABCD) \). - Độ dài \( SA = \frac{a \sqrt{15}}{15} \). Bước 2: Xác định mặt phẳng \( (SAC) \) - Mặt phẳng \( (SAC) \) chứa các điểm \( S, A, C \). - Trong mặt phẳng \( (ABCD) \), \( AC \) là đường chéo của hình chữ nhật, do đó \( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} \). Bước 3: Tìm hình chiếu của \( SB \) lên mặt phẳng \( (SAC) \) - Để tìm góc giữa \( SB \) và mặt phẳng \( (SAC) \), ta cần tìm hình chiếu của \( SB \) lên mặt phẳng \( (SAC) \). - Vì \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABCD) \), nên hình chiếu của \( B \) lên mặt phẳng \( (SAC) \) là điểm \( B' \) nằm trên đường thẳng \( AC \). Bước 4: Tính góc giữa \( SB \) và mặt phẳng \( (SAC) \) - Góc giữa \( SB \) và mặt phẳng \( (SAC) \) chính là góc giữa \( SB \) và hình chiếu của nó trên mặt phẳng \( (SAC) \), tức là góc \( \angle SBB' \). - Do \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABCD) \), nên \( SB \) cũng vuông góc với \( AB \) và \( BC \). - Từ đó, ta có thể suy ra rằng góc giữa \( SB \) và mặt phẳng \( (SAC) \) là góc giữa \( SB \) và \( SA \). Bước 5: Tính toán góc - Ta có \( \tan \angle SBA = \frac{AB}{SA} = \frac{a}{\frac{a \sqrt{15}}{15}} = \frac{15}{\sqrt{15}} = \sqrt{15} \). - Do đó, \( \angle SBA = 60^\circ \). Vậy, góc giữa đường thẳng \( SB \) và mặt phẳng \( (SAC) \) là \( 60^\circ \). Đáp án: D. 60° Câu 14: Để giải bài toán này, ta cần xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Trước tiên, ta cần phân tích hình chóp S.ABCD và các yếu tố liên quan. 1. Xác định các yếu tố của hình chóp: - Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với \(AD = 2AB = 2BC = 2a\). - SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SA = a\sqrt{6}\). 2. Tính toán các cạnh của đáy: - Vì \(AD = 2AB = 2a\), suy ra \(AB = a\). - \(BC = a\) (do \(2BC = 2a\)). - Do đó, \(CD = AD - BC = 2a - a = a\). 3. Xác định tọa độ các điểm: - Đặt \(A(0, 0, 0)\), \(B(a, 0, 0)\), \(D(0, a, 0)\), \(C(a, a, 0)\). - \(S(0, 0, a\sqrt{6})\) vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). 4. Tính vector SC: - \(SC = C - S = (a, a, -a\sqrt{6})\). 5. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD): - Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) chính là góc giữa vector SC và hình chiếu của nó lên mặt phẳng (ABCD). - Hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD) là vector \(SC'\) với \(C'(a, a, 0)\). - Vector \(SC' = (a, a, 0)\). 6. Tính góc giữa SC và SC': - Sử dụng công thức cosin của góc giữa hai vector: \[ \cos \theta = \frac{SC \cdot SC'}{|SC| \cdot |SC'|} \] - Tính tích vô hướng \(SC \cdot SC' = a \cdot a + a \cdot a + (-a\sqrt{6}) \cdot 0 = 2a^2\). - Độ dài \( |SC| = \sqrt{a^2 + a^2 + (a\sqrt{6})^2} = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2}\). - Độ dài \( |SC'| = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\). - Thay vào công thức: \[ \cos \theta = \frac{2a^2}{2a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{2a^2}{4a^2} = \frac{1}{2} \] - Suy ra \(\theta = 60^\circ\). Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là \(60^\circ\). Đáp án đúng là D. 60°. Câu 15: Để giải bài toán này, ta cần xác định góc giữa đường thẳng \( SD \) và mặt phẳng \( (ABCD) \). Bước 1: Xác định các yếu tố cơ bản của hình chóp - Đáy \( ABCD \) là hình thang vuông tại \( A \) và \( B \), với \( AD = 2AB = 2BC = 2a \). - \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABCD) \), do đó \( SA \) là đường cao của hình chóp. - \( SA = 2a \). Bước 2: Tính độ dài các cạnh của hình thang \( ABCD \) - \( AB = a \), \( AD = 2a \), \( BC = a \). - Vì \( ABCD \) là hình thang vuông tại \( A \) và \( B \), nên \( CD = AD - BC = 2a - a = a \). Bước 3: Tìm hình chiếu của \( SD \) lên mặt phẳng \( (ABCD) \) - Do \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABCD) \), hình chiếu của \( S \) lên mặt phẳng \( (ABCD) \) là điểm \( A \). - Hình chiếu của \( SD \) lên mặt phẳng \( (ABCD) \) là đoạn thẳng \( AD \). Bước 4: Tính góc giữa \( SD \) và mặt phẳng \( (ABCD) \) - Ta cần tính góc giữa \( SD \) và \( AD \). - Sử dụng tam giác vuông \( SAD \), ta có: - \( SA = 2a \) - \( AD = 2a \) - Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( SAD \): \[ SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{4a^2 + 4a^2} = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2} \] - Tính góc \( \angle SDA \) bằng cách sử dụng định nghĩa của cosin trong tam giác vuông: \[ \cos(\angle SDA) = \frac{AD}{SD} = \frac{2a}{2a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] - Do đó, \( \angle SDA = 45^\circ \). Vậy, góc giữa đường thẳng \( SD \) và mặt phẳng \( (ABCD) \) là \( 45^\circ \). Đáp án đúng là B. 45°.