giải dùm mình

Câu 1: Để xác định tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, ta cần phân tích bảng biến thiên đã cho. 1. Tiệm cận đứng: - Tiệm cận đứng xảy ra khi hàm số có giới hạn vô cực tại một điểm nào đó. - Từ bảng biến thiên, ta thấy khi \( x \to 1^- \) thì \( y \to +\infty \) và khi \( x \to 1^+ \) thì \( y \to -\infty \). Do đó, \( x = 1 \) là một đường tiệm cận đứng. 2. Tiệm cận ngang: - Tiệm cận ngang xảy ra khi giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm\infty \) là một hằng số. - Từ bảng biến thiên, ta thấy khi \( x \to -\infty \), \( y \to 1 \) và khi \( x \to +\infty \), \( y \to -1 \). Do đó, có hai đường tiệm cận ngang là \( y = 1 \) và \( y = -1 \). Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là \( 1 + 2 = 3 \). Vậy, đáp án đúng là: A. 3. Câu 2: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ trên $\mathbb{R}$, ta dựa vào bảng biến thiên đã cho. 1. Xét các điểm tới hạn: - Tại $x = -\frac{1}{2}$, $y' = 0$ và hàm số đổi dấu từ dương sang âm, do đó $x = -\frac{1}{2}$ là điểm cực đại. - Tại $x = 2$, $y' = 0$ và hàm số đổi dấu từ âm sang dương, do đó $x = 2$ là điểm cực tiểu. 2. Giá trị tại các điểm cực trị: - Tại $x = -\frac{1}{2}$, $y = 3$. - Tại $x = 2$, $y = -1$. 3. Giới hạn khi $x \to \pm \infty$: - Khi $x \to -\infty$, $y \to 1$. - Khi $x \to +\infty$, $y \to 1$. 4. Kết luận: - Giá trị lớn nhất của hàm số là $3$, đạt được khi $x = -\frac{1}{2}$. Vậy, đáp án đúng là $\textcircled{C.}~Max~y=3$. Câu 3: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^3 - 2x^2 + x + 1 \) trên đoạn \([-3, 0]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + x + 1) = 3x^2 - 4x + 1 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 - 4x + 1 = 0 \] Ta giải phương trình bậc hai này bằng công thức: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 3 \), \( b = -4 \), \( c = 1 \): \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6} \] Do đó: \[ x = \frac{6}{6} = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] 3. Kiểm tra các điểm tới hạn trong khoảng \([-3, 0]\): Các điểm tới hạn là \( x = 1 \) và \( x = \frac{1}{3} \). Tuy nhiên, cả hai điểm này đều nằm ngoài khoảng \([-3, 0]\). 4. Tính giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn \([-3, 0]\): \[ y(-3) = (-3)^3 - 2(-3)^2 + (-3) + 1 = -27 - 18 - 3 + 1 = -47 \] \[ y(0) = 0^3 - 2 \cdot 0^2 + 0 + 1 = 1 \] 5. So sánh các giá trị đã tính: - Tại \( x = -3 \), \( y = -47 \) - Tại \( x = 0 \), \( y = 1 \) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-3, 0]\) là \(-47\). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^3 - 2x^2 + x + 1 \) trên đoạn \([-3, 0]\) là \(\boxed{-47}\). Câu 4: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 8x^2 + 16x - 9 \) trên đoạn \([1, 3]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 8x^2 + 16x - 9) = 3x^2 - 16x + 16 \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 - 16x + 16 = 0 \] Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 3 \), \( b = -16 \), và \( c = 16 \): \[ x = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16}}{2 \cdot 3} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 192}}{6} = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{16 \pm 8}{6} \] Do đó: \[ x = \frac{24}{6} = 4 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \] 3. Kiểm tra các điểm tới hạn trong khoảng \([1, 3]\): - Điểm \( x = 4 \) nằm ngoài khoảng \([1, 3]\), nên ta loại bỏ. - Điểm \( x = \frac{4}{3} \) nằm trong khoảng \([1, 3]\). 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm \( x = 1 \), \( x = 3 \), và \( x = \frac{4}{3} \): \[ f(1) = 1^3 - 8 \cdot 1^2 + 16 \cdot 1 - 9 = 1 - 8 + 16 - 9 = 0 \] \[ f(3) = 3^3 - 8 \cdot 3^2 + 16 \cdot 3 - 9 = 27 - 72 + 48 - 9 = -6 \] \[ f\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^3 - 8 \left(\frac{4}{3}\right)^2 + 16 \left(\frac{4}{3}\right) - 9 \] \[ = \frac{64}{27} - 8 \cdot \frac{16}{9} + \frac{64}{3} - 9 \] \[ = \frac{64}{27} - \frac{128}{9} + \frac{64}{3} - 9 \] \[ = \frac{64}{27} - \frac{384}{27} + \frac{576}{27} - \frac{243}{27} \] \[ = \frac{64 - 384 + 576 - 243}{27} = \frac{13}{27} \] 5. So sánh các giá trị đã tính: - \( f(1) = 0 \) - \( f(3) = -6 \) - \( f\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{13}{27} \) Giá trị lớn nhất trong các giá trị này là \( \frac{13}{27} \). Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 8x^2 + 16x - 9 \) trên đoạn \([1, 3]\) là: \[ \boxed{\textcircled{D.}~\max_{[1,3]}f(x)=\frac{13}{27}} \] Câu 5: Để xác định hàm số nào có đồ thị như hình vẽ, ta cần phân tích các đặc điểm của đồ thị: 1. Dạng đồ thị: - Đồ thị có dạng bậc ba, với một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. - Đồ thị đi từ góc phần tư thứ hai xuống góc phần tư thứ tư, cho thấy hệ số của \(x^3\) là âm. 2. Điểm cực trị: - Đồ thị có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Điều này phù hợp với hàm bậc ba có dạng \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) với \(a < 0\). 3. Hệ số của \(x^3\): - Vì đồ thị đi từ góc phần tư thứ hai xuống góc phần tư thứ tư, hệ số của \(x^3\) phải là âm. Do đó, ta loại trừ các phương án \(A\) và \(B\). 4. Xét các phương án còn lại: - \(C.~y = -x^3 + 3x^2 - 2\) - \(D.~y = -x^3 - 3x^2 - 2\) 5. Xét điểm cắt trục tung: - Đồ thị cắt trục tung tại \(y = -2\), điều này phù hợp với cả hai phương án \(C\) và \(D\). 6. Xét điểm cực trị: - Đồ thị có điểm cực đại ở bên trái trục tung và điểm cực tiểu ở bên phải trục tung. Điều này phù hợp với phương án \(C\) vì hệ số của \(x^2\) là dương, tạo ra một điểm cực đại trước điểm cực tiểu. Do đó, hàm số có đồ thị như hình vẽ là \(C.~y = -x^3 + 3x^2 - 2\).