Cuu toi sodod

Câu 14: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích bảng xét dấu của đạo hàm \( y' \) để xác định tính đơn điệu của hàm số \( y = f(x) \). Phân tích bảng xét dấu: 1. Khoảng \((- \infty, -1)\): \( y' < 0 \) nên hàm số \( f(x) \) giảm. 2. Khoảng \((-1, 0)\): \( y' < 0 \) nên hàm số \( f(x) \) tiếp tục giảm. 3. Tại \( x = 0 \): \( y' = 0 \) là điểm dừng. 4. Khoảng \((0, 1)\): \( y' > 0 \) nên hàm số \( f(x) \) tăng. 5. Tại \( x = 1 \): \( y' = 0 \) là điểm dừng. 6. Khoảng \((1, +\infty)\): \( y' < 0 \) nên hàm số \( f(x) \) giảm. Xác định các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: - Mệnh đề A: \(\max_{[-1;1]}f(x)=f(0)\) Trên đoạn \([-1, 1]\), hàm số giảm trên \([-1, 0]\) và tăng trên \([0, 1]\). Do đó, \( f(x) \) đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x = -1 \) và giá trị lớn nhất tại \( x = 1 \). Mệnh đề này sai. - Mệnh đề B: \(\max_{(0;+\infty)}f(x)=f(1)\) Trên khoảng \((0, +\infty)\), hàm số tăng trên \((0, 1)\) và giảm trên \((1, +\infty)\). Do đó, \( f(x) \) đạt giá trị lớn nhất tại \( x = 1 \). Mệnh đề này đúng. - Mệnh đề C: \(\min_{(-\infty;-1)}f(x)=f(-1)\) Trên khoảng \((- \infty, -1)\), hàm số giảm, do đó không có giá trị nhỏ nhất tại \( x = -1 \). Mệnh đề này sai. - Mệnh đề D: \(\min_{(-1;+\infty)}f(x)=f(0)\) Trên khoảng \((-1, +\infty)\), hàm số giảm trên \((-1, 0)\), tăng trên \((0, 1)\), và giảm trên \((1, +\infty)\). Do đó, \( f(x) \) đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x = 0 \). Mệnh đề này đúng. Kết luận: Mệnh đề đúng là B và D. Câu 15: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 21x \) trên đoạn \([2; 19]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3x^2 - 21 \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 - 21 = 0 \implies 3x^2 = 21 \implies x^2 = 7 \implies x = \pm \sqrt{7} \] Vì \( x \) nằm trong đoạn \([2; 19]\), nên chỉ lấy \( x = \sqrt{7} \). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^3 - 21 \cdot 2 = 8 - 42 = -34 \] - Tại \( x = \sqrt{7} \): \[ f(\sqrt{7}) = (\sqrt{7})^3 - 21 \cdot \sqrt{7} = 7\sqrt{7} - 21\sqrt{7} = -14\sqrt{7} \] - Tại \( x = 19 \): \[ f(19) = 19^3 - 21 \cdot 19 = 6859 - 399 = 6460 \] 4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( f(2) = -34 \) - \( f(\sqrt{7}) = -14\sqrt{7} \approx -36.5 \) - \( f(19) = 6460 \) Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là \( -14\sqrt{7} \). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 21x \) trên đoạn \([2; 19]\) là: \[ \boxed{-14\sqrt{7}} \] Câu 16: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 33x \) trên đoạn \([2, 19]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3x^2 - 33 \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 - 33 = 0 \implies x^2 = 11 \implies x = \pm \sqrt{11} \] Vì \( x \) nằm trong đoạn \([2, 19]\), nên chỉ lấy \( x = \sqrt{11} \). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^3 - 33 \cdot 2 = 8 - 66 = -58 \] - Tại \( x = \sqrt{11} \): \[ f(\sqrt{11}) = (\sqrt{11})^3 - 33 \cdot \sqrt{11} = 11\sqrt{11} - 33\sqrt{11} = -22\sqrt{11} \] - Tại \( x = 19 \): \[ f(19) = 19^3 - 33 \cdot 19 = 6859 - 627 = 6232 \] 4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( f(2) = -58 \) - \( f(\sqrt{11}) = -22\sqrt{11} \approx -72.6 \) - \( f(19) = 6232 \) Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là \( -22\sqrt{11} \). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 33x \) trên đoạn \([2, 19]\) là: \[ \boxed{-22\sqrt{11}} \] Câu 17: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^4 - 12x^2 - 4 \) trên đoạn \([0; 9]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 4x^3 - 24x \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x^3 - 24x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 6) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 6 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \sqrt{6} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{6} \] 3. Lọc các điểm tới hạn trong khoảng \([0; 9]\): Các điểm tới hạn trong khoảng này là: \[ x = 0 \quad \text{và} \quad x = \sqrt{6} \] 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^4 - 12 \cdot 0^2 - 4 = -4 \] - Tại \( x = \sqrt{6} \): \[ f(\sqrt{6}) = (\sqrt{6})^4 - 12(\sqrt{6})^2 - 4 = 36 - 72 - 4 = -40 \] - Tại \( x = 9 \): \[ f(9) = 9^4 - 12 \cdot 9^2 - 4 = 6561 - 972 - 4 = 5585 \] 5. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất: \[ f(0) = -4, \quad f(\sqrt{6}) = -40, \quad f(9) = 5585 \] Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([0; 9]\) là \(-40\). Đáp án: B. -40. Câu 18: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^4 - 10x^2 - 2 \) trên đoạn \([0; 9]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 10x^2 - 2) = 4x^3 - 20x \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x^3 - 20x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 5) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 5 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \sqrt{5} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{5} \] 3. Lọc các điểm tới hạn trong khoảng \([0; 9]\): Các điểm tới hạn trong khoảng này là: \[ x = 0 \quad \text{và} \quad x = \sqrt{5} \] 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^4 - 10 \cdot 0^2 - 2 = -2 \] - Tại \( x = \sqrt{5} \): \[ f(\sqrt{5}) = (\sqrt{5})^4 - 10(\sqrt{5})^2 - 2 = 25 - 50 - 2 = -27 \] - Tại \( x = 9 \): \[ f(9) = 9^4 - 10 \cdot 9^2 - 2 = 6561 - 810 - 2 = 5749 \] 5. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: \[ f(0) = -2, \quad f(\sqrt{5}) = -27, \quad f(9) = 5749 \] Giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là \(-27\). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^4 - 10x^2 - 2 \) trên đoạn \([0; 9]\) là \(-27\).