giải giúp mình

Câu 1: Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( f(x) = \frac{-x^2 - 2x + 2}{x - 1} \), ta cần viết lại hàm số dưới dạng \( f(x) = \frac{A}{x - 1} + Bx + C \). Bước 1: Phân tích hàm số Ta thực hiện phép chia đa thức: Chia tử số \(-x^2 - 2x + 2\) cho mẫu số \(x - 1\): 1. Lấy \(-x^2\) chia cho \(x\), được \(-x\). 2. Nhân \(-x\) với \(x - 1\), được \(-x^2 + x\). 3. Lấy \(-x^2 - 2x + 2\) trừ đi \(-x^2 + x\), được \(-3x + 2\). Tiếp tục: 1. Lấy \(-3x\) chia cho \(x\), được \(-3\). 2. Nhân \(-3\) với \(x - 1\), được \(-3x + 3\). 3. Lấy \(-3x + 2\) trừ đi \(-3x + 3\), được \(-1\). Vậy ta có: \[ \frac{-x^2 - 2x + 2}{x - 1} = -x - 3 + \frac{-1}{x - 1} \] Bước 2: Xác định tâm đối xứng Hàm số có dạng \( f(x) = -x - 3 + \frac{-1}{x - 1} \). Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có dạng \( y = ax + b + \frac{c}{x - d} \) là \( I(d; b) \). Ở đây, \( a = -1 \), \( b = -3 \), \( c = -1 \), \( d = 1 \). Vậy tâm đối xứng là \( I(1; -3) \). Bước 3: Tính giá trị của biểu thức \( T = 4a^2 + 6b^2 \) Với \( a = 1 \) và \( b = -3 \), ta có: \[ T = 4a^2 + 6b^2 = 4 \times 1^2 + 6 \times (-3)^2 = 4 \times 1 + 6 \times 9 = 4 + 54 = 58 \] Vậy giá trị của biểu thức \( T \) là \( 58 \). Câu 2: Để tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích $49~\text{cm}^2$, ta cần thực hiện các bước sau: Giả sử hình chữ nhật có chiều dài là $a$ và chiều rộng là $b$. Khi đó, diện tích của hình chữ nhật là: \[ a \times b = 49. \] Chu vi của hình chữ nhật được tính bằng công thức: \[ P = 2(a + b). \] Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $P$ với điều kiện $a \times b = 49$. Để làm điều này, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc AM-GM (bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân). Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: \[ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}. \] Thay $ab = 49$ vào, ta có: \[ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{49} = 7. \] Do đó: \[ a + b \geq 14. \] Vậy chu vi $P = 2(a + b) \geq 2 \times 14 = 28$. Dấu "=" xảy ra khi $a = b$. Khi đó, $a^2 = 49$, suy ra $a = b = 7$. Vậy hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là hình vuông với cạnh bằng $7~\text{cm}$. Kết luận: Chu vi nhỏ nhất của hình chữ nhật là $28~\text{cm}$, đạt được khi $a = b = 7~\text{cm}$. Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần phân tích đồ thị của hàm số \( y = \frac{ax-1}{bx+c} \). Bước 1: Xác định tiệm cận đứng và ngang 1. Tiệm cận đứng: Xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là \( bx + c = 0 \). Từ đồ thị, ta thấy tiệm cận đứng tại \( x = -1 \). Do đó, ta có: \[ b(-1) + c = 0 \implies -b + c = 0 \implies c = b \] 2. Tiệm cận ngang: Xảy ra khi \( x \to \pm \infty \). Hệ số của \( x \) trong tử số và mẫu số là \( a \) và \( b \) tương ứng. Tiệm cận ngang là \( y = \frac{a}{b} \). Từ đồ thị, ta thấy tiệm cận ngang là \( y = 1 \). Do đó: \[ \frac{a}{b} = 1 \implies a = b \] Bước 2: Xác định điểm cắt trục tung Để tìm điểm cắt trục tung, ta cho \( x = 0 \): \[ y = \frac{a(0) - 1}{b(0) + c} = \frac{-1}{c} \] Từ đồ thị, điểm cắt trục tung là \( y = -1 \). Do đó: \[ \frac{-1}{c} = -1 \implies c = 1 \] Bước 3: Tìm giá trị của \( a \), \( b \), \( c \) Từ các phương trình trên, ta có: - \( a = b \) - \( c = b \) - \( c = 1 \) Suy ra \( a = b = c = 1 \). Bước 4: Tính giá trị của biểu thức \( T \) Biểu thức cần tính là: \[ T = 4a^2 + 4b^2 - 16c^2 + 26c \] Thay \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = 1 \) vào, ta có: \[ T = 4(1)^2 + 4(1)^2 - 16(1)^2 + 26(1) \] \[ = 4 + 4 - 16 + 26 \] \[ = 18 \] Vậy giá trị của biểu thức \( T \) là \( 18 \). Câu 4: Tổng doanh thu khi bán x kg cà phê là: B(x) = 320.x (nghìn đồng) Lợi nhuận khi bán x kg cà phê là: L(x) = B(x) - C(x) = 320x - (-x³ + 3x² + 338x + 500) = x³ - 3x² + 82x - 500 (nghìn đồng) Ta có L'(x) = 3x² - 6x + 82 Giải phương trình L'(x) = 0 ta được x = 11 hoặc x = 15 Lập bảng biến thiên của hàm số L(x) trên đoạn [1; 18] ta thấy lợi nhuận tối đa mà hộ sản xuất này có được là 1 900 000 đồng khi sản xuất và bán 15 kg cà phê. Câu 5: Phương trình chuyển động của chất điểm là: \[ s(t) = -t^3 + 6t^2 + 9t + 8 \] Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \( t \) là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: \[ v(t) = s'(t) = -3t^2 + 12t + 9 \] Để tìm thời điểm \( t \) mà vận tốc đạt giá trị lớn nhất trong khoảng từ 0 đến 6 giây, ta cần tìm cực đại của hàm \( v(t) \). Tìm đạo hàm bậc hai của \( v(t) \): \[ v''(t) = -6t + 12 \] Đặt \( v''(t) = 0 \) để tìm điểm dừng: \[ -6t + 12 = 0 \] \[ t = 2 \] Kiểm tra dấu của \( v''(t) \) để xác định tính chất của điểm dừng: - Khi \( t < 2 \), \( v''(t) > 0 \) (hàm tăng) - Khi \( t > 2 \), \( v''(t) < 0 \) (hàm giảm) Do đó, tại \( t = 2 \), hàm \( v(t) \) đạt cực đại. Giá trị của vận tốc tại \( t = 2 \) là: \[ v(2) = -3(2)^2 + 12(2) + 9 = -12 + 24 + 9 = 21 \text{ m/s} \] Vậy, thời gian để vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất trong 6 giây đầu tiên là 2 giây. Câu 6: Để xác định có bao nhiêu số dương trong các số \(a, b, c, d\), ta cần phân tích bảng biến thiên của hàm số \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). 1. Xét dấu của \(a\): - Từ bảng biến thiên, ta thấy khi \(x \to -\infty\), \(f(x) \to -\infty\) và khi \(x \to +\infty\), \(f(x) \to +\infty\). Điều này cho thấy hệ số \(a\) phải dương, vì đồ thị hàm bậc ba có dạng đi lên từ trái qua phải. 2. Xét dấu của \(b\): - Tại \(x = -2\), \(f'(x) = 0\) và \(f(x)\) đạt cực đại. Điều này cho thấy \(f'(x)\) đổi dấu từ dương sang âm, tức là \(f''(-2) < 0\). - \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\). Để \(f''(-2) < 0\), ta có: \[ f''(x) = 6ax + 2b \quad \Rightarrow \quad f''(-2) = 6a(-2) + 2b = -12a + 2b < 0 \] - Vì \(a > 0\), suy ra \(b < 6a\). Tuy nhiên, điều này không đủ để kết luận \(b\) dương hay âm. 3. Xét dấu của \(c\): - Tại \(x = 0\), \(f'(x) = 0\) và \(f(x)\) đạt cực tiểu. Điều này cho thấy \(f'(x)\) đổi dấu từ âm sang dương, tức là \(f''(0) > 0\). - \(f''(0) = 6a \cdot 0 + 2b = 2b > 0\), suy ra \(b > 0\). 4. Xét dấu của \(d\): - Giá trị của \(f(x)\) tại \(x = 0\) là \(f(0) = d = 1\). Do đó, \(d = 1 > 0\). Tóm lại, các số dương trong \(a, b, c, d\) là \(a, b, d\). Vậy có 3 số dương.