giúp tôi với nhé

Câu 1: Để xác định tập giá trị của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([a; b]\), ta cần xem xét các thông tin đã cho: 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([a; b]\) là 1. 2. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([a; b]\) là 5. Điều này có nghĩa là khi \( x \) chạy từ \( a \) đến \( b \), giá trị của hàm số \( y = f(x) \) sẽ nằm trong khoảng từ 1 đến 5, bao gồm cả 1 và 5. Do đó, tập giá trị của hàm số trên đoạn \([a; b]\) là đoạn \([1; 5]\). Vì vậy, đáp án đúng là \( B.~[1;5] \). Câu 2: Hàm số đã cho xác định trên đoạn $[0;3]$. Ta có $y'=2x-2$, cho $y'=0$ ta được $x=1\in [0;3]$. Ta có $y(0)=0$, $y(1)=-1$, $y(3)=9-6=3$. Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là $M=3$ đạt được tại $x=3$. Do đó, đáp án đúng là C. Câu 3: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{3x - 1}{x + 2} \), chúng ta cần tính giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến \( +\infty \) và \( -\infty \). 1. Tính giới hạn của hàm số khi \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x - 1}{x + 2} \] Ta chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{3 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} \] Khi \( x \to +\infty \), các hạng tử \( \frac{1}{x} \) và \( \frac{2}{x} \) đều tiến về 0: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{3 - 0}{1 + 0} = \frac{3}{1} = 3 \] 2. Tính giới hạn của hàm số khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{3x - 1}{x + 2} \] Ta cũng chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{3 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} \] Khi \( x \to -\infty \), các hạng tử \( \frac{1}{x} \) và \( \frac{2}{x} \) đều tiến về 0: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{3 - 0}{1 + 0} = \frac{3}{1} = 3 \] Vậy, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{3x - 1}{x + 2} \) là đường thẳng có phương trình \( y = 3 \). Đáp án đúng là: \( B.~y=3 \). Câu 4: Để xác định số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 + 1}{x - 1} \), chúng ta cần tìm các giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng không, vì đó là nơi có thể xuất hiện tiệm cận đứng. Mẫu số của hàm số là \( x - 1 \). Ta giải phương trình: \[ x - 1 = 0 \] \[ x = 1 \] Tiếp theo, ta kiểm tra xem tại \( x = 1 \) có phải là tiệm cận đứng hay không bằng cách xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 1 từ bên trái và bên phải. Xét giới hạn khi \( x \) tiến đến 1 từ bên trái (\( x \to 1^- \)): \[ \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 + 1}{x - 1} \] Khi \( x \) tiến đến 1 từ bên trái, \( x - 1 \) tiến đến 0 từ phía âm, do đó \( \frac{x^2 + 1}{x - 1} \) tiến đến \(-\infty\). Xét giới hạn khi \( x \) tiến đến 1 từ bên phải (\( x \to 1^+ \)): \[ \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 + 1}{x - 1} \] Khi \( x \) tiến đến 1 từ bên phải, \( x - 1 \) tiến đến 0 từ phía dương, do đó \( \frac{x^2 + 1}{x - 1} \) tiến đến \(+\infty\). Vì giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 1 từ bên trái và bên phải đều là vô cùng, nên \( x = 1 \) là một đường tiệm cận đứng. Do đó, đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 + 1}{x - 1} \) có 1 đường tiệm cận đứng. Đáp án: B. 1. Câu 5: Để xác định hàm số \( y = x^4 - 2x^2 + 1 \) là hàm số chẵn hay lẻ, ta cần kiểm tra tính chất của hàm số khi thay \( x \) bởi \( -x \). Bước 1: Tính \( f(-x) \) \[ f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 \] Bước 2: Đơn giản hóa biểu thức \[ (-x)^4 = x^4 \] \[ (-x)^2 = x^2 \] Do đó: \[ f(-x) = x^4 - 2x^2 + 1 \] Bước 3: So sánh \( f(-x) \) với \( f(x) \) \[ f(x) = x^4 - 2x^2 + 1 \] \[ f(-x) = x^4 - 2x^2 + 1 \] Ta thấy rằng \( f(-x) = f(x) \). Bước 4: Kết luận Vì \( f(-x) = f(x) \), hàm số \( y = x^4 - 2x^2 + 1 \) là hàm số chẵn. Đáp án đúng là: A. Hàm số chẵn. Câu 6: Để tìm giao điểm của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x-1}{x-2} \) với trục tung, ta cần tìm giá trị của \( y \) khi \( x = 0 \). Thay \( x = 0 \) vào hàm số: \[ y = \frac{2(0) - 1}{0 - 2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} \] Vậy, giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm có tọa độ \( (0; \frac{1}{2}) \). Do đó, đáp án đúng là \( B.~(0;\frac{1}{2}) \). Câu 7: Câu hỏi: Chất điểm M chuyển động theo đường thẳng có quãng đường $s=s(t)$ theo thời gian t. $s'(t)$ biểu thị đại lượng nào sau đây? A. Gia tốc của vật (a(t)). B. Tốc độ thay đổi trung bình. C. Vận tốc tức thời của vật (v(t)). D. Quãng đường vật đi được. Lời giải chi tiết: - Ta biết rằng $s(t)$ là quãng đường mà chất điểm M đã đi được trong thời gian t. - Đạo hàm của quãng đường theo thời gian, tức là $s'(t)$, biểu thị vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t. Do đó, $s'(t)$ biểu thị đại lượng vận tốc tức thời của vật (v(t)). Đáp án đúng là: C. Vận tốc tức thời của vật (v(t)). Câu 8: Chi phí biên là đại lượng đo lường sự thay đổi của tổng chi phí khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm. Về mặt toán học, chi phí biên được xác định bằng đạo hàm bậc nhất của hàm chi phí theo biến số x, tức là \( C'(x) \). Do đó, đáp án đúng là: \( A.~C^\prime(x). \) Lập luận chi tiết: - Chi phí biên là đại lượng đo lường sự thay đổi của tổng chi phí khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm. - Về mặt toán học, chi phí biên được xác định bằng đạo hàm bậc nhất của hàm chi phí theo biến số x, tức là \( C'(x) \). - Các lựa chọn khác không phản ánh đúng ý nghĩa của chi phí biên: - \( B.~\frac{C(x)}{x} \) là chi phí trung bình. - \( C.~\frac{C(x+1)-C(x)}{x+1} \) là tỷ lệ thay đổi trung bình, không phải đạo hàm. - \( D.~C''(x) \) là đạo hàm bậc hai, không liên quan trực tiếp đến chi phí biên. Vậy đáp án đúng là: \( A.~C^\prime(x). \) Câu 9: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 5 \) trên đoạn \([1, 4]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 5) = 3x^2 - 6x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] 3. Loại bỏ các điểm tới hạn nằm ngoài đoạn \([1, 4]\): - \( x = 0 \) nằm ngoài đoạn \([1, 4]\), nên loại bỏ. - \( x = 2 \) nằm trong đoạn \([1, 4]\). 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 5 = 1 - 3 + 5 = 3 \] - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 5 = 8 - 12 + 5 = 1 \] - Tại \( x = 4 \): \[ y(4) = 4^3 - 3 \cdot 4^2 + 5 = 64 - 48 + 5 = 21 \] 5. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( y(1) = 3 \) - \( y(2) = 1 \) - \( y(4) = 21 \) Giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là \( 1 \). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 5 \) trên đoạn \([1, 4]\) là: \[ \boxed{1} \] Câu 10: Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 - 3x + 1}{x + 1} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): Biểu thức xác định khi mẫu số khác 0, tức là \( x + 1 \neq 0 \). Do đó, \( x \neq -1 \). 2. Tìm đường tiệm cận xiên: Đường tiệm cận xiên có dạng \( y = ax + b \). Để tìm \( a \) và \( b \), ta thực hiện phép chia đa thức: Chia tử số \( x^2 - 3x + 1 \) cho mẫu số \( x + 1 \): - Thực hiện phép chia: \[ \begin{array}{r|l} x + 1 & x^2 - 3x + 1 \\ \hline x & x^2 + x \\ \hline & -4x + 1 \\ -4 & -4x - 4 \\ \hline & 5 \\ \end{array} \] Kết quả của phép chia là \( x - 4 + \frac{5}{x+1} \). - Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), thành phần \( \frac{5}{x+1} \to 0 \). Do đó, đường tiệm cận xiên là \( y = x - 4 \). 3. Kết luận: Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \( y = x - 4 \). Vậy đáp án đúng là \( A.~y = x - 4 \). Câu 11: Để tìm các điểm mà đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \) cắt trục hoành, ta cần giải phương trình: \[ x^3 - 3x + 2 = 0. \] Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình Đầu tiên, ta thử nghiệm các giá trị nguyên của \( x \) để tìm nghiệm của phương trình. Thử \( x = 1 \): \[ 1^3 - 3 \times 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0. \] Vậy \( x = 1 \) là một nghiệm của phương trình. Bước 2: Chia đa thức Vì \( x = 1 \) là nghiệm, ta có thể chia đa thức \( x^3 - 3x + 2 \) cho \( x - 1 \) để tìm các nghiệm còn lại. Thực hiện phép chia: \[ x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + ax + b). \] Sử dụng phép chia đa thức hoặc phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm được: \[ x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2). \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai Giải phương trình bậc hai \( x^2 + x - 2 = 0 \): Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] với \( a = 1, b = 1, c = -2 \): \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-2)}}{2 \times 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}. \] Từ đó, ta có hai nghiệm: \[ x = \frac{-1 + 3}{2} = 1, \] \[ x = \frac{-1 - 3}{2} = -2. \] Kết luận Vậy các điểm mà đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \) cắt trục hoành có hoành độ là \( x = 1 \) và \( x = -2 \). Do đó, đáp án đúng là: \( A.~x=1,~x=-2. \)