giúp tôi với nhé

Câu 12: Để tìm mức sản lượng \( x \) tại đó hàm chi phí biên \( C'(x) \) đạt giá trị nhỏ nhất, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm chi phí \( C(x) \): \[ C(x) = x^3 - 6x^2 + 15x + 20 \] Đạo hàm \( C(x) \) theo \( x \): \[ C'(x) = 3x^2 - 12x + 15 \] 2. Tìm đạo hàm bậc hai của \( C(x) \): \[ C''(x) = 6x - 12 \] 3. Giải phương trình \( C''(x) = 0 \) để tìm điểm dừng: \[ 6x - 12 = 0 \] \[ 6x = 12 \] \[ x = 2 \] 4. Kiểm tra tính chất của điểm dừng \( x = 2 \) bằng cách xét dấu của \( C''(x) \): - Khi \( x < 2 \), \( C''(x) < 0 \) (hàm \( C'(x) \) giảm). - Khi \( x > 2 \), \( C''(x) > 0 \) (hàm \( C'(x) \) tăng). Do đó, tại \( x = 2 \), hàm \( C'(x) \) đạt giá trị nhỏ nhất. Vậy, hàm chi phí biên \( C'(x) \) đạt giá trị nhỏ nhất tại mức sản lượng \( x = 2 \). Đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~x=2} \] Câu 13: a) Ta có: \[ f'(x) = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 3)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}. \] Do đó, khẳng định này sai. b) Ta có: \[ f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt{2} \text{ hoặc } x = 1 - \sqrt{2}. \] Vì \( x > 1 \), ta chỉ xét \( x = 1 + \sqrt{2} \). Ta thấy rằng \( f'(x) < 0 \) khi \( x \in (1, 1 + \sqrt{2}) \) và \( f'(x) > 0 \) khi \( x \in (1 + \sqrt{2}, +\infty) \). Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 + \sqrt{2} \). Vì đây là điểm duy nhất mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x = 1 + \sqrt{2} \). Khẳng định này đúng. c) Ta có: \[ f(1 + \sqrt{2}) = \frac{(1 + \sqrt{2})^2 - 2(1 + \sqrt{2}) + 3}{1 + \sqrt{2} - 1} = \frac{1 + 2\sqrt{2} + 2 - 2 - 2\sqrt{2} + 3}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}. \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \( (1; +\infty) \) là \( 2\sqrt{2} \). Khẳng định này đúng. d) Ta có: \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1} = +\infty. \] Hàm số liên tục trên \( (1; +\infty) \) và có giới hạn tiến đến \( +\infty \) khi \( x \to +\infty \). Do đó, hàm số không có giá trị lớn nhất trên \( (1; +\infty) \). Khẳng định này đúng. Tóm lại: - Khẳng định a) sai. - Khẳng định b) đúng. - Khẳng định c) đúng. - Khẳng định d) đúng. Câu 14: Để xét tính đúng sai của các khẳng định, ta cần phân tích hàm số đã cho: \( y = \frac{x+2}{2x-1} \). Điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là \( 2x - 1 \neq 0 \). Do đó, \( x \neq \frac{1}{2} \). a) Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang: - Tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. Từ ĐKXĐ, ta có \( x = \frac{1}{2} \) là tiệm cận đứng. - Tiệm cận ngang: Để tìm tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x+2}{2x-1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{2 - \frac{1}{x}} = \frac{1}{2}. \] Vậy, tiệm cận ngang là \( y = \frac{1}{2} \). Kết luận cho a): Đúng. b) Tính đơn điệu của hàm số: Ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(2x-1) \cdot 1 - (x+2) \cdot 2}{(2x-1)^2} = \frac{2x - 1 - 2x - 4}{(2x-1)^2} = \frac{-5}{(2x-1)^2}. \] Vì \((2x-1)^2 > 0\) với mọi \(x \neq \frac{1}{2}\), nên \(y' < 0\) với mọi \(x \neq \frac{1}{2}\). Do đó, hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Kết luận cho b): Đúng. c) Tâm đối xứng của đồ thị: Đồ thị hàm số có tâm đối xứng nếu tồn tại điểm \( (a, b) \) sao cho \( f(a - x) + f(a + x) = 2b \) với mọi \(x\) thuộc khoảng xác định. Ta thử với \( a = \frac{1}{2} \) và \( b = \frac{1}{2} \): \[ f\left(\frac{1}{2} - x\right) = \frac{\frac{1}{2} - x + 2}{2(\frac{1}{2} - x) - 1} = \frac{\frac{5}{2} - x}{1 - 2x}, \] \[ f\left(\frac{1}{2} + x\right) = \frac{\frac{1}{2} + x + 2}{2(\frac{1}{2} + x) - 1} = \frac{\frac{5}{2} + x}{2x}. \] Tính tổng: \[ f\left(\frac{1}{2} - x\right) + f\left(\frac{1}{2} + x\right) = \frac{\frac{5}{2} - x}{1 - 2x} + \frac{\frac{5}{2} + x}{2x}. \] Sau khi tính toán, ta thấy tổng này không đơn giản hóa thành \(1\), do đó không có tâm đối xứng tại \((\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\). Kết luận cho c): Sai. d) Vẽ đồ thị: Do hàm số không có tâm đối xứng, nên không thể chỉ vẽ một nhánh và lấy đối xứng qua một điểm để có đồ thị hoàn chỉnh. Kết luận cho d): Sai. Tóm lại: - a) Đúng. - b) Đúng. - c) Sai. - d) Sai. Câu 15: a) Đúng. Vì \( f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 = x^4 - 2x^2 = f(x) \). Vậy đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. b) Đúng. Ta có \( y' = 4x^3 - 4x \). Giải \( y' = 0 \): \[ 4x^3 - 4x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = \pm 1 \] Thay vào hàm số: \[ y(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 = 0 \] \[ y(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 = 1 - 2 = -1 \] \[ y(-1) = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^2 = 1 - 2 = -1 \] Vậy hàm số có ba điểm cực trị tại \( x = 0, x = 1, x = -1 \). c) Đúng. Ta có \( y = 0 \): \[ x^4 - 2x^2 = 0 \] \[ x^2(x^2 - 2) = 0 \] \[ x^2 = 0 \text{ hoặc } x^2 = 2 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = \pm \sqrt{2} \] d) Đúng. Vì hàm số là hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung. Do đó, để vẽ đồ thị, ta chỉ cần khảo sát trên khoảng \([0; +\infty)\) và lấy đối xứng qua trục tung. Câu 16: a) Đúng. Vì gia tốc của vật là đạo hàm của vận tốc theo thời gian, tức là \( a(t) = v'(t) = 3t^2 - 12t \). b) Đúng. Để tìm giá trị nhỏ nhất của gia tốc, ta cần tìm đạo hàm của \( a(t) \): \[ a'(t) = 6t - 12. \] Giải phương trình \( a'(t) = 0 \): \[ 6t - 12 = 0 \implies t = 2. \] Ta kiểm tra giá trị này: \[ a''(t) = 6 > 0, \] nên \( t = 2 \) là điểm cực tiểu. Vậy gia tốc đạt giá trị nhỏ nhất tại \( t = 2 \) giây. c) Sai. Vật bắt đầu giảm tốc khi gia tốc \( a(t) \) đổi dấu từ dương sang âm. Ta giải bất phương trình \( a(t) < 0 \): \[ 3t^2 - 12t < 0 \implies 3t(t - 4) < 0. \] Bảng biến thiên cho thấy \( a(t) < 0 \) khi \( 0 < t < 4 \). Do đó, vật bắt đầu giảm tốc sau \( t = 4 \) giây là sai, vì thực tế vật đã giảm tốc từ \( t = 0 \) đến \( t = 4 \). d) Đúng. Vật chuyển động theo chiều âm khi vận tốc \( v(t) < 0 \). Giải bất phương trình: \[ t^3 - 6t^2 + 5 < 0. \] Ta tìm nghiệm của phương trình \( t^3 - 6t^2 + 5 = 0 \): \[ t^3 - 6t^2 + 5 = 0 \implies (t - 1)(t^2 - 5t - 5) = 0. \] Nghiệm của \( t^2 - 5t - 5 = 0 \) là: \[ t = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 20}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2}. \] Do đó, \( t_0 = \frac{5 + \sqrt{45}}{2} \). Kiểm tra khoảng \( (1; t_0) \): \[ v(t) < 0 \text{ trong khoảng } (1; t_0). \] Vậy vật chuyển động theo chiều âm trong khoảng thời gian \( (1; t_0) \) với \( t_0 = \frac{5 + \sqrt{45}}{2} \).