Giúp với ạ

Câu 1: Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số Đạo hàm của hàm số \( y \) là: \[ y' = 3x^2 - 6x \] Bước 2: Tìm các điểm tới hạn Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 6x = 0 \] Rút gọn: \[ 3x(x - 2) = 0 \] Suy ra các nghiệm: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Bước 3: Xét dấu đạo hàm để xác định cực trị - Với \( x < 0 \), \( y' = 3x(x - 2) > 0 \). - Với \( 0 < x < 2 \), \( y' = 3x(x - 2) < 0 \). - Với \( x > 2 \), \( y' = 3x(x - 2) > 0 \). Từ đó, ta có: - \( x = 0 \) là điểm cực đại. - \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. Bước 4: Tính giá trị cực tiểu Tính giá trị của hàm số tại \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \] Vậy, giá trị cực tiểu của hàm số là \(-2\), đạt được khi \( x = 2 \). Câu 2: Ta có: $f'(x)=\frac1{505}x^3-\frac1{1010}x=\frac1{1010}x({x}^{2}-1)$ Cho $f'(x)=0$ $\Leftrightarrow \frac1{1010}x({x}^{2}-1)=0$ $\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-1$ hoặc $x=1$ Ta có: $f(0)=2021$ $f(-1)=\frac1{2020}-\frac1{2020}+2021=2021$ $f(1)=\frac1{2020}-\frac1{2020}+2021=2021$ Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-1;1]$ là $2021$, đạt được tại $x=0,x=-1,x=1.$ Do đó $a+b=2021+1=2022$ Câu 3: Để tìm giá trị của \( m \) sao cho gia tốc của tàu con thoi tăng trong khoảng thời gian từ \( m \) đến \( 126 \) giây, ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính vận tốc \( v(t) \) của tàu con thoi. \[ v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(0,001302t^3 - 0,09029t^2 + 23t) \] \[ v(t) = 0,003906t^2 - 0,18058t + 23 \] Bước 2: Tính gia tốc \( a(t) \) của tàu con thoi. \[ a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(0,003906t^2 - 0,18058t + 23) \] \[ a(t) = 0,007812t - 0,18058 \] Bước 3: Xác định khoảng thời gian mà gia tốc tăng. Gia tốc tăng khi đạo hàm của gia tốc \( a'(t) \) dương: \[ a'(t) = \frac{d}{dt}(0,007812t - 0,18058) \] \[ a'(t) = 0,007812 \] Vì \( 0,007812 > 0 \), gia tốc tăng liên tục trong toàn bộ khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 126 \). Do đó, gia tốc của tàu con thoi tăng trong toàn bộ khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 126 \). Vậy \( m = 0 \). Đáp án: \( m = 0 \) Câu 4: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( C(t) = \frac{0,15t}{t^2 + 1} \), ta sẽ sử dụng đạo hàm để tìm cực trị. Bước 1: Tìm đạo hàm của \( C(t) \). \[ C'(t) = \frac{(0,15)(t^2 + 1) - (0,15t)(2t)}{(t^2 + 1)^2} \] \[ C'(t) = \frac{0,15t^2 + 0,15 - 0,3t^2}{(t^2 + 1)^2} \] \[ C'(t) = \frac{-0,15t^2 + 0,15}{(t^2 + 1)^2} \] \[ C'(t) = \frac{-0,15(t^2 - 1)}{(t^2 + 1)^2} \] Bước 2: Giải phương trình \( C'(t) = 0 \) để tìm các giá trị tới hạn. \[ \frac{-0,15(t^2 - 1)}{(t^2 + 1)^2} = 0 \] \[ -0,15(t^2 - 1) = 0 \] \[ t^2 - 1 = 0 \] \[ t = 1 \quad \text{hoặc} \quad t = -1 \] Vì \( t \geq 0 \), nên ta chỉ xét \( t = 1 \). Bước 3: Kiểm tra dấu của \( C'(t) \) để xác định tính chất của điểm tới hạn. - Khi \( t < 1 \), \( C'(t) > 0 \) (hàm số tăng). - Khi \( t > 1 \), \( C'(t) < 0 \) (hàm số giảm). Do đó, tại \( t = 1 \), hàm số đạt giá trị lớn nhất. Bước 4: Tính giá trị của \( C(t) \) tại \( t = 1 \). \[ C(1) = \frac{0,15 \cdot 1}{1^2 + 1} = \frac{0,15}{2} = 0,075 \] Vậy, nồng độ thuốc trong máu đạt giá trị lớn nhất là \( 0,075 \, mg/cm^3 \). Làm tròn đến hàng phần trăm, ta có: \[ 0,075 \approx 0,08 \, mg/cm^3 \] Đáp số: \( 0,08 \, mg/cm^3 \) Câu 5: Để tìm thể tích lớn nhất của hình lăng trụ, ta cần xác định diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ. Bước 1: Xác định diện tích đáy Đáy của lăng trụ là tam giác \(ABC\) với \(AB = 5\) m và \(BC = x\) m. Để tính diện tích tam giác \(ABC\), ta cần chiều cao từ \(A\) xuống \(BC\). Giả sử \(h\) là chiều cao từ \(A\) xuống \(BC\). Diện tích tam giác \(ABC\) là: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times h = \frac{1}{2} \times 5 \times h = \frac{5h}{2} \] Bước 2: Xác định chiều cao của lăng trụ Chiều cao của lăng trụ là độ dài \(AA' = 20\) m. Bước 3: Tính thể tích của lăng trụ Thể tích \(V\) của lăng trụ là: \[ V = S \times AA' = \frac{5h}{2} \times 20 = 50h \] Bước 4: Tìm điều kiện để thể tích lớn nhất Để \(V\) lớn nhất, \(h\) phải lớn nhất. Do \(h\) là chiều cao từ \(A\) xuống \(BC\), ta cần tối ưu hóa tam giác \(ABC\). Vì \(AB = 5\) m cố định, tam giác \(ABC\) có diện tích lớn nhất khi \(A\) vuông góc với \(BC\), tức là tam giác vuông tại \(A\). Khi đó, \(h = AB = 5\). Bước 5: Tính thể tích lớn nhất Thay \(h = 5\) vào công thức thể tích: \[ V = 50 \times 5 = 250 \text{ m}^3 \] Vậy, thể tích lớn nhất của hình lăng trụ là \(250 \text{ m}^3\). Câu 6: Để tính độ lớn của hợp lực của ba lực đã cho, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các lực trong mặt phẳng: Giả sử hai lực trong mặt phẳng là \(\vec{F_1}\) và \(\vec{F_2}\) với độ lớn lần lượt là 25 N và 12 N, và góc giữa chúng là \(100^\circ\). 2. Tính hợp lực của hai lực trong mặt phẳng: Để tính hợp lực của \(\vec{F_1}\) và \(\vec{F_2}\), ta sử dụng công thức: \[ F_{12} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\theta} \] Thay các giá trị vào, ta có: \[ F_{12} = \sqrt{25^2 + 12^2 + 2 \times 25 \times 12 \times \cos 100^\circ} \] Tính toán từng phần: - \(25^2 = 625\) - \(12^2 = 144\) - \(\cos 100^\circ \approx -0.1736\) (sử dụng máy tính để tính giá trị gần đúng) Thay vào công thức: \[ F_{12} = \sqrt{625 + 144 + 2 \times 25 \times 12 \times (-0.1736)} \] \[ F_{12} = \sqrt{625 + 144 - 104.16} \] \[ F_{12} = \sqrt{664.84} \approx 25.78 \, \text{N} \] 3. Tính hợp lực của ba lực: Lực thứ ba \(\vec{F_3}\) có độ lớn 4 N và vuông góc với mặt phẳng chứa \(\vec{F_1}\) và \(\vec{F_2}\). Do đó, hợp lực của ba lực là: \[ F = \sqrt{F_{12}^2 + F_3^2} \] Thay các giá trị vào: \[ F = \sqrt{25.78^2 + 4^2} \] Tính toán: - \(25.78^2 \approx 664.5284\) - \(4^2 = 16\) \[ F = \sqrt{664.5284 + 16} = \sqrt{680.5284} \approx 26.08 \, \text{N} \] Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta có: \[ F \approx 26 \, \text{N} \] Vậy, độ lớn của hợp lực của ba lực là 26 N.