giài bài tâpj sau a, tính độ dài AB

Để giải bài tập này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Tính độ dài \( AB \) trên đoạn \([0;1]\). Trước tiên, ta cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^4 - 2x^2 - 2 \) trên đoạn \([0;1]\). - Tính đạo hàm: \( y' = 4x^3 - 4x \). - Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm cực trị: \[ 4x^3 - 4x = 0 \implies 4x(x^2 - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = \pm 1. \] Trên đoạn \([0;1]\), ta chỉ xét \( x = 0 \) và \( x = 1 \). - Tính giá trị của hàm số tại các điểm này: \[ f(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 - 2 = -2, \] \[ f(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 - 2 = 1 - 2 - 2 = -3. \] - So sánh với giá trị tại các điểm biên của đoạn: \[ f(0) = -2, \quad f(1) = -3. \] Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0;1]\) là \(-2\) tại \( x = 0 \) và giá trị nhỏ nhất là \(-3\) tại \( x = 1 \). Độ dài \( AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-3 - (-2))^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \). Kết luận: Đúng. b) Tập giá trị của hàm số là \([-3;+\infty)\). Để xác định tập giá trị của hàm số, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\mathbb{R}\). - Từ đạo hàm \( y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 0 \), ta có các điểm nghi ngờ cực trị là \( x = 0, x = 1, x = -1 \). - Tính giá trị hàm số tại các điểm này: \[ f(0) = -2, \quad f(1) = -3, \quad f(-1) = -3. \] - Xét dấu của đạo hàm để xác định tính đơn điệu: - Trên khoảng \((-1, 0)\), \( y' < 0 \) nên hàm số giảm. - Trên khoảng \((0, 1)\), \( y' > 0 \) nên hàm số tăng. - Trên khoảng \((1, +\infty)\), \( y' > 0 \) nên hàm số tăng. - Trên khoảng \((-\infty, -1)\), \( y' < 0 \) nên hàm số giảm. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\mathbb{R}\) là \(-3\) tại \( x = 1 \) và \( x = -1 \). Do đó, tập giá trị của hàm số là \([-3; +\infty)\). Kết luận: Đúng. c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\mathbb{R}\) là \(-2\). Như đã phân tích ở trên, hàm số không có giá trị lớn nhất trên \(\mathbb{R}\) vì nó tăng đến \(+\infty\) khi \( x \to +\infty \) hoặc \( x \to -\infty \). Kết luận: Sai. d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\mathbb{R}\) là \(-3\). Như đã phân tích ở phần b), giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\mathbb{R}\) là \(-3\). Kết luận: Đúng.