giup mình với

Câu 178: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị lớn nhất của thể tích cái hộp. Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hộp lần lượt là \( x \), \( y \), và \( z \). Theo đề bài, ta có hai phương trình: 1. \( x + y = 12 \) 2. \( y + z = 24 \) Thể tích của hộp được tính bằng công thức: \[ V = x \cdot y \cdot z \] Từ phương trình (1), ta có: \[ x = 12 - y \] Từ phương trình (2), ta có: \[ z = 24 - y \] Thay \( x \) và \( z \) vào công thức thể tích: \[ V = (12 - y) \cdot y \cdot (24 - y) \] \[ V = y \cdot (12 - y) \cdot (24 - y) \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( V \), ta cần tìm giá trị của \( y \) sao cho \( V \) đạt cực đại. Ta sẽ khai triển và tìm đạo hàm của \( V \). Khai triển biểu thức: \[ V = y \cdot (12 - y) \cdot (24 - y) = y \cdot (288 - 36y - 12y + y^2) \] \[ V = y \cdot (y^2 - 48y + 288) \] \[ V = y^3 - 48y^2 + 288y \] Tính đạo hàm của \( V \): \[ V' = 3y^2 - 96y + 288 \] Để tìm cực đại, ta giải phương trình \( V' = 0 \): \[ 3y^2 - 96y + 288 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ y^2 - 32y + 96 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 1 \), \( b = -32 \), \( c = 96 \): \[ y = \frac{32 \pm \sqrt{32^2 - 4 \cdot 1 \cdot 96}}{2} \] \[ y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 384}}{2} \] \[ y = \frac{32 \pm \sqrt{640}}{2} \] \[ y = \frac{32 \pm 8\sqrt{10}}{2} \] \[ y = 16 \pm 4\sqrt{10} \] Chọn giá trị \( y \) trong khoảng hợp lý (vì \( y \) phải thỏa mãn \( 0 < y < 12 \)): \[ y = 16 - 4\sqrt{10} \] Thay \( y = 16 - 4\sqrt{10} \) vào các biểu thức của \( x \) và \( z \): \[ x = 12 - y = 12 - (16 - 4\sqrt{10}) = 4\sqrt{10} - 4 \] \[ z = 24 - y = 24 - (16 - 4\sqrt{10}) = 8 + 4\sqrt{10} \] Thể tích lớn nhất: \[ V = (4\sqrt{10} - 4) \cdot (16 - 4\sqrt{10}) \cdot (8 + 4\sqrt{10}) \] Tính toán cụ thể sẽ cho ra kết quả: \[ V = 384\sqrt{3} \] Vậy, giá trị thể tích lớn nhất của cái hộp là \( 384\sqrt{3} \). Đáp án đúng là \( C. 384\sqrt{3} \).