$2.$ Đặt một vật $\mathfrak{m}_{0} = 225(g)$ lên trên vật M, hệ gồm 2 vật $(m_0 + M)$ đang đứng yên. Vẫn dùng vật $m = 100(g)$ bắn vào với cùng vận tốc $v_{0} = 3, 625(m / s)$ va chạm là hoàn toàn đàn...

Ta sẽ giải từng câu một theo thứ tự: --- **Bài 4:** 1. **Tìm chu kỳ dao động của vật M và độ cứng k của lò xo** - Vật M có khối lượng \( M = 400\,g = 0.4\,kg \). - Độ dài cực đại của lò xo: \( l_{max} = 109\,cm = 1.09\,m \). - Độ dài cực tiểu của lò xo: \( l_{min} = 80\,cm = 0.80\,m \). - Vị trí cân bằng (giữa cực đại và cực tiểu) là: \[ l_0 = \frac{l_{max} + l_{min}}{2} = \frac{1.09 + 0.80}{2} = 0.945\,m \] - Biên độ dao động của vật M: \[ A = \frac{l_{max} - l_{min}}{2} = \frac{1.09 - 0.80}{2} = 0.145\,m \] - Dao động điều hòa trên trục ngang, không ma sát. Ta có chu kỳ dao động điều hòa: \[ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}} \] trong đó \(k\) là độ cứng lò xo, \(\omega\) là tần số góc dao động. - Sau va chạm hoàn toàn đàn hồi giữa vật m và M, vật M dao động điều hòa với biên độ \(A\). - Vận tốc cực đại của vật M: \[ v_{max} = \omega A \] - Cũng từ va chạm hoàn toàn đàn hồi, ta có vận tốc ban đầu của vật M ngay sau va chạm là: Vật m có khối lượng \(m = 100\,g = 0.1\,kg\), vận tốc ban đầu \(v_0 = 3.625\,m/s\). - Vì va chạm hoàn toàn đàn hồi và vật m bắn vào M đang đứng yên, ta dùng công thức vận tốc sau va chạm: \[ v_{M} = \frac{2 m}{m + M} v_0 = \frac{2 \times 0.1}{0.1 + 0.4} \times 3.625 = \frac{0.2}{0.5} \times 3.625 = 0.4 \times 3.625 = 1.45\,m/s \] - Vận tốc của vật M ngay sau va chạm là \(v_M = v_{max} = \omega A\), do lúc đó vật M bắt đầu dao động từ vị trí cân bằng với vận tốc cực đại. - Do đó: \[ \omega A = 1.45 \Rightarrow \omega = \frac{1.45}{0.145} = 10\,rad/s \] - Chu kỳ: \[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10} = 0.628\,s \] - Từ \(\omega = \sqrt{\frac{k}{M}}\), suy ra: \[ k = M \omega^2 = 0.4 \times 10^2 = 0.4 \times 100 = 40\,N/m \] **Kết luận:** \[ \boxed{ T = 0.628\,s; \quad k = 40\,N/m } \] --- **Câu 2: Viết phương trình dao động của hệ \((m_0 + M)\)** - \( m_0 = 225\,g = 0.225\,kg \) đặt trên vật M. - Hệ gồm 2 vật \( (m_0 + M) = 0.225 + 0.4 = 0.625\,kg \) dao động điều hòa. - Vật \(m = 0.1\,kg\) bắn với vận tốc \(v_0 = 3.625\,m/s\), va chạm hoàn toàn đàn hồi. - Ta tính vận tốc của hệ \((m_0 + M)\) sau va chạm theo công thức vận tốc sau va chạm cho vật thứ hai (ban đầu đứng yên): \[ v = \frac{2 m}{m + (m_0 + M)} v_0 = \frac{2 \times 0.1}{0.1 + 0.625} \times 3.625 = \frac{0.2}{0.725} \times 3.625 \approx 1.0\,m/s \] - Khối lượng tổng \(m_{total} = 0.625\,kg\). - Biên độ dao động \(A\) của hệ vật này: Vận tốc cực đại của dao động điều hòa là \(v_{max} = \omega A\). - Tần số góc \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m_{total}}} = \sqrt{\frac{40}{0.625}} = \sqrt{64} = 8\,rad/s\). - Vận tốc cực đại là \(v = 1.0\,m/s = v_{max} = \omega A \Rightarrow A = \frac{1.0}{8} = 0.125\,m\). - Phương trình dao động của hệ (lấy gốc toạ độ ở vị trí cân bằng, gốc thời gian lúc va chạm, chọn chiều dương trùng với vận tốc sau va chạm): \[ x = A \sin(\omega t) = 0.125 \sin(8 t) \quad (m) \] --- **Câu 3: Hệ số ma sát \(\mu = 0.4\), vận tốc \(v\) của vật m phải nhỏ hơn bao nhiêu để vật m không trượt trên vật M** - Vật m đặt trên vật M, cả hệ dao động cùng nhau. - Điều kiện không trượt: lực ma sát phải đủ lớn để cung cấp gia tốc cho vật m dao động cùng vật M. - Gia tốc cực đại của hệ \((m_0 + M)\): \[ a_{max} = \omega^2 A = (8)^2 \times 0.125 = 64 \times 0.125 = 8\,m/s^2 \] - Lực ma sát cực đại: \[ F_{ms} = \mu m_0 g = 0.4 \times 0.225 \times 10 = 0.9\,N \] - Lực cần để giữ vật m dao động cùng vật M: \[ F = m_0 a_{max} = 0.225 \times 8 = 1.8\,N \] - Vì \(F > F_{ms}\), vật m sẽ trượt nếu dùng vận tốc va chạm như trên. - Ta cần tìm vận tốc \(v_0\) sao cho \(F \leq F_{ms}\). - Lấy lại quy trình tính vận tốc sau va chạm của hệ: \[ v = \frac{2 m}{m + m_{total}} v_0 = \frac{2 \times 0.1}{0.1 + m_0 + M} v_0 = \frac{0.2}{0.1 + 0.625} v_0 = \frac{0.2}{0.725} v_0 \approx 0.276 v_0 \] - Vận tốc cực đại của hệ: \(v = \omega A\), vậy biên độ: \[ A = \frac{v}{\omega} = \frac{0.276 v_0}{8} = 0.0345 v_0 \] - Gia tốc cực đại: \[ a_{max} = \omega^2 A = 64 \times 0.0345 v_0 = 2.208 v_0 \] - Lực cần cung cấp cho vật m không trượt: \[ F = m_0 a_{max} = 0.225 \times 2.208 v_0 = 0.497 v_0 \] - Lực ma sát cực đại: \[ F_{ms} = 0.9\,N \] - Điều kiện không trượt: \[ F \leq F_{ms} \Rightarrow 0.497 v_0 \leq 0.9 \Rightarrow v_0 \leq \frac{0.9}{0.497} \approx 1.81\, m/s \] --- **Tóm tắt kết quả:** \[ \boxed{ \begin{cases} \text{Câu 4:} & T=0.628\,s, \quad k=40\,N/m \\ \text{Câu 2:} & x = 0.125 \sin(8 t) \quad (m) \\ \text{Câu 3:} & v_0 \leq 1.81\, m/s \quad \text{để vật m không trượt trên vật M} \end{cases} } \] --- Nếu cần thêm giải thích hay công thức, bạn cứ hỏi nhé!