Bài cuoi. gthich

Cho bài toán: - Khối lượng đĩa: \( M = 900\,g = 0.9\,kg \) - Độ cứng lò xo: \( k = 25\,N/m \) - Khối lượng vật nhỏ: \( m = 100\,g = 0.1\,kg \) - Chiều cao rơi của vật nhỏ: \( h = 20\,cm = 0.2\,m \) - Gia tốc trọng trường: \( g = 10\,m/s^2 \) --- **a) Tính vận tốc của vật nhỏ ngay trước khi va chạm và vận tốc của hai vật ngay sau va chạm.** 1. **Vận tốc của vật nhỏ ngay trước khi va chạm:** Vật rơi từ độ cao \( h \) không vận tốc ban đầu, nên vận tốc trước khi chạm mặt đĩa là: \[ v_0 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 0.2} = \sqrt{4} = 2\,m/s \] 2. **Vận tốc của hai vật ngay sau va chạm:** Sau va chạm, hai vật dính vào nhau nên được coi là va chạm mềm. Áp dụng bảo toàn động lượng: \[ m v_0 + M \times 0 = (M + m) V \implies V = \frac{m v_0}{M + m} = \frac{0.1 \times 2}{0.9 + 0.1} = \frac{0.2}{1.0} = 0.2\, m/s \] --- **b) Vị trí cân bằng mới cách vị trí cân bằng cũ một khoảng bao nhiêu?** Sau khi vật nhỏ dính vào đĩa, tổng khối lượng là \( M + m = 1.0\,kg \). Vị trí cân bằng mới bị lệch xuống do trọng lượng tăng thêm. Độ dãn lò xo ở vị trí cân bằng mới là: \[ \Delta x = \frac{(M + m) g}{k} = \frac{1.0 \times 10}{25} = 0.4\, m = 4\, cm \] Vị trí cân bằng mới cách vị trí cân bằng cũ 4 cm về phía dưới. --- **c) Viết phương trình dao động của hai vật, chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng mới, chiều dương hướng thẳng đứng từ trên xuống dưới, gốc thời gian lúc bắt đầu va chạm.** - Tần số góc dao động của hệ khối lượng \( M + m \) với lò xo: \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{M + m}} = \sqrt{\frac{25}{1.0}} = 5\, rad/s \] - Vận tốc ban đầu của hệ tại thời điểm \( t=0 \) là \( V = 0.2\,m/s \) hướng xuống (chiều dương). - Vị trí ban đầu lúc va chạm (lấy gốc tại vị trí cân bằng mới) là: Lúc va chạm, đĩa chưa kịp dãn thêm, vị trí của đĩa là 0 (tại vị trí cân bằng cũ), nên tính so với vị trí cân bằng mới, vị trí ban đầu: \[ x(0) = -\Delta x = -0.04\, m = -4\, cm \] (tức là nằm ở 4 cm phía trên vị trí cân bằng mới) --- Phương trình dao động điều hòa: \[ x(t) = A \sin(\omega t + \varphi) \] Với: - \( x(0) = A \sin \varphi = -0.04 \) - \( v(0) = x'(0) = A \omega \cos \varphi = V = 0.2 \, m/s \) Từ đó: \[ \sin \varphi = \frac{-0.04}{A}, \quad \cos \varphi = \frac{0.2}{A \times 5} = \frac{0.2}{5A} = \frac{0.04}{A} \] Nhưng \(\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi = 1\), nên: \[ \left(\frac{-0.04}{A}\right)^2 + \left(\frac{0.04}{A}\right)^2 = 1 \Rightarrow \frac{0.0016 + 0.0016}{A^2} =1 \Rightarrow \frac{0.0032}{A^2} =1 \Rightarrow A^2=0.0032 \Rightarrow A = \sqrt{0.0032} = 0.0566\, m = 5.66\, cm \] Từ đó: \[ \sin \varphi = \frac{-0.04}{0.0566} = -0.707, \quad \cos \varphi = \frac{0.04}{0.0566} = 0.707 \] Góc \(\varphi\) thuộc góc có \(\sin \varphi = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) và \(\cos \varphi = \frac{\sqrt{2}}{2}\), tức: \[ \varphi = -\frac{\pi}{4} \] --- **Kết luận:** Phương trình dao động của hệ là: \[ x(t) = 5.66 \sin(5 t - \frac{\pi}{4}) \quad (cm) \] --- ### Đáp số: \[ \boxed{ \begin{cases} a) \quad v_0 = 2\, m/s, \quad V = 0.2\, m/s \\ b) \quad \Delta x = 4\, cm \\ c) \quad x(t) = 4 \sqrt{2} \sin\left(5 t - \frac{\pi}{4}\right) (cm) \end{cases} } \] --- **Lưu ý:** \(5.66\, cm \approx 4 \sqrt{2} \, cm\) do \(4 \sqrt{2} = 4 \times 1.414 = 5.656\, cm\), đúng với kết quả đề bài cho.