Bài $6....$

Cho bài toán con lắc lò xo gồm hai vật \( M = 300\,g = 0.3\,kg \), \( m = 200\,g = 0.2\,kg \), lò xo độ cứng \( k = 200\,N/m \), gia tốc trọng trường \( g = 10\,m/s^2 \). --- **Phân tích bài toán:** - Vật \( M \) gắn vào lò xo, nằm trên trục thẳng đứng. - Vật \( m \) được thả từ độ cao \( h = 3.75\,cm = 0.0375\,m \) so với vật \( M \). - Xét hệ không ma sát, va chạm hoàn toàn mềm. - Trước va chạm, vật \( M \) đứng yên tại vị trí cân bằng cũ (gốc tọa độ O). - Vật \( m \) rơi tự do xuống va chạm với \( M \). - Sau va chạm, hai vật dính vào nhau và dao động với lò xo. - Cần tìm vận tốc trước và sau va chạm, phương trình dao động sau va chạm trong hệ tọa độ mới (O') và hệ tọa độ cũ (O). --- ### 1. Tính vận tốc của m ngay trước va chạm và vận tốc của hai vật ngay sau va chạm - **Vận tốc của m ngay trước va chạm:** Vật \( m \) rơi tự do từ độ cao \( h = 0.0375\,m \), vận tốc lúc va chạm: \[ v_m = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 10 \times 0.0375} = \sqrt{0.75} \approx 0.866\, m/s \] - **Vận tốc của M trước va chạm:** \[ v_M = 0 \] - **Va chạm hoàn toàn mềm (dính vào nhau):** Bảo toàn động lượng: \[ m v_m + M v_M = (M + m) v' \] \[ 0.2 \times 0.866 + 0.3 \times 0 = 0.5 \times v' \implies v' = \frac{0.1732}{0.5} = 0.3464\, m/s \] Vận tốc của hai vật sau va chạm: \[ v' = 0.3464\, m/s \] --- ### 2. Viết phương trình dao động của hai vật trong hệ tọa độ O'X - Vị trí cân bằng mới \( C \) của hệ \( (M+m) \): Cân bằng lò xo dưới tác dụng trọng lực: \[ k \Delta l = (M + m) g \Rightarrow \Delta l = \frac{(0.3 + 0.2) \times 10}{200} = \frac{5}{200} = 0.025\, m = 2.5\, cm \] Vị trí cân bằng mới cách vị trí cân bằng cũ \( O \) là 2.5 cm xuống dưới. - Viết phương trình dao động của hệ con lắc gồm khối lượng \( M+m \) dao động với độ cứng \( k \). Tần số góc dao động: \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{M + m}} = \sqrt{\frac{200}{0.5}} = \sqrt{400} = 20\, rad/s \] - Hệ tọa độ O' đặt tại vị trí cân bằng mới, chiều dương hướng xuống dưới (trùng với chiều chuyển động sau va chạm). - Tại \( t=0 \) (ngay sau va chạm), hai vật có vị trí \( x(0) = 0 \) (vì đặt gốc tại vị trí cân bằng mới), vận tốc: \[ v'(0) = 0.3464\, m/s \] Phương trình dao động tổng quát: \[ x(t) = A \cos \omega t + B \sin \omega t \] Ta có: - \( x(0) = A = 0 \) - \( v(0) = x'(0) = B \omega = 0.3464 \Rightarrow B = \frac{0.3464}{20} = 0.01732\, m \) Vậy phương trình dao động: \[ x(t) = 0.01732 \sin (20 t) \] - Cả hai vật dao động cùng pha, cùng biên độ vì dính nhau: \[ x_M(t) = x_m(t) = 0.01732 \sin (20 t) \quad (m) \] --- ### 3. Viết phương trình dao động trong hệ tọa độ ox, gốc O là vị trí cân bằng cũ của M trước va chạm - Vị trí cân bằng mới cách vị trí cân bằng cũ là 2.5 cm (0.025 m) xuống dưới. - Vì \( x(t) \) trong hệ O' có gốc tại vị trí cân bằng mới, để chuyển sang hệ O (gốc tại vị trí cân bằng cũ), ta cộng vị trí: \[ x_{O}(t) = x(t) + \Delta l = 0.01732 \sin(20 t) + 0.025 \] Với \( t=0 \): \[ x_O(0) = 0 + 0.025 = 0.025\, m \] Vận tốc: \[ v_O(t) = x'(t) = 0.01732 \times 20 \cos(20 t) = 0.3464 \cos(20 t) \] Tại \( t=0 \): \[ v_O(0) = 0.3464\, m/s \] --- ### **Tóm tắt kết quả:** 1. Vận tốc của \( m \) ngay trước va chạm: \[ v_m = 0.866\, m/s \] Vận tốc hai vật ngay sau va chạm: \[ v' = 0.3464\, m/s \] 2. Phương trình dao động của hai vật trong hệ tọa độ O' (gốc tại vị trí cân bằng mới): \[ x_M(t) = x_m(t) = 0.01732 \sin (20 t) \quad (m) \] 3. Phương trình dao động trong hệ tọa độ O (gốc tại vị trí cân bằng cũ): \[ x_M(t) = x_m(t) = 0.025 + 0.01732 \sin(20 t) \quad (m) \] --- Nếu cần hỗ trợ thêm, bạn cứ hỏi nhé!