Tính giá trị biểu thức $\left(a^3+15a-25\right)^{2013}$ với $a=\sqrt[3]{13-7\sqrt{6}}+\sqrt[3]{13+7\sqrt{6}}$.

Đặt \( x = \sqrt[3]{13 - 7\sqrt{6}} + \sqrt[3]{13 + 7\sqrt{6}} \) Ta có: \[ x^3 = (\sqrt[3]{13 - 7\sqrt{6}} + \sqrt[3]{13 + 7\sqrt{6}})^3 \] Sử dụng công thức khai triển lập phương: \[ (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) \] Áp dụng vào biểu thức trên: \[ x^3 = (\sqrt[3]{13 - 7\sqrt{6}})^3 + (\sqrt[3]{13 + 7\sqrt{6}})^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{13 - 7\sqrt{6}} \cdot \sqrt[3]{13 + 7\sqrt{6}} \cdot (\sqrt[3]{13 - 7\sqrt{6}} + \sqrt[3]{13 + 7\sqrt{6}}) \] Ta biết rằng: \[ (\sqrt[3]{13 - 7\sqrt{6}})^3 = 13 - 7\sqrt{6} \] \[ (\sqrt[3]{13 + 7\sqrt{6}})^3 = 13 + 7\sqrt{6} \] Do đó: \[ x^3 = (13 - 7\sqrt{6}) + (13 + 7\sqrt{6}) + 3 \cdot \sqrt[3]{(13 - 7\sqrt{6})(13 + 7\sqrt{6})} \cdot x \] Rút gọn: \[ x^3 = 26 + 3 \cdot \sqrt[3]{(13 - 7\sqrt{6})(13 + 7\sqrt{6})} \cdot x \] Tính tích: \[ (13 - 7\sqrt{6})(13 + 7\sqrt{6}) = 13^2 - (7\sqrt{6})^2 = 169 - 294 = -125 \] Do đó: \[ x^3 = 26 + 3 \cdot \sqrt[3]{-125} \cdot x \] \[ x^3 = 26 + 3 \cdot (-5) \cdot x \] \[ x^3 = 26 - 15x \] Chuyển vế: \[ x^3 + 15x - 26 = 0 \] So sánh với biểu thức ban đầu: \[ (a^3 + 15a - 25)^{2013} \] Ta thấy rằng: \[ a = x \] \[ a^3 + 15a - 25 = 26 - 15x + 15x - 25 = 1 \] Do đó: \[ (a^3 + 15a - 25)^{2013} = 1^{2013} = 1 \] Vậy giá trị của biểu thức là: \[ \boxed{1} \]