Giúp mình với! câu 4 nhá

Bài 1: Để viết các hệ thức theo Định lí Talès, ta cần xác định các cặp đoạn thẳng song song và các đoạn thẳng tương ứng. Hình 1: Trong hình 1, ta có: - \( DE \parallel BC \) Theo Định lí Talès, ta có: \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \] Hình 2: Trong hình 2, ta có: - \( MN \parallel BC \) Theo Định lí Talès, ta có: \[ \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \] Hình 4: Trong hình 4, ta có: - \( DE \parallel BC \) Theo Định lí Talès, ta có: \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \] Hình 5: Trong hình 5, ta có: - \( MN \parallel AB \) Theo Định lí Talès, ta có: \[ \frac{AM}{MC} = \frac{AN}{NB} \] Các hệ thức trên được thiết lập dựa trên tính chất của các đoạn thẳng song song và các đoạn thẳng tương ứng trong các tam giác. Bài 2: Để chứng minh $DE // AC$ và $BC // MN$, ta cần sử dụng các tính chất của hình học phẳng, đặc biệt là các định lý về đường thẳng song song và các góc đồng vị, góc so le trong. Chứng minh $DE // AC$: 1. Giả sử tam giác $ABC$ có điểm $D$ nằm trên cạnh $AB$ và điểm $E$ nằm trên cạnh $BC$. 2. Để chứng minh $DE // AC$, ta cần chứng minh rằng góc $\angle ADE = \angle BAC$ hoặc góc $\angle EDC = \angle ACB$. 3. Nếu $DE$ cắt $AC$ tại một điểm nào đó, thì hai góc $\angle ADE$ và $\angle BAC$ là hai góc đồng vị. 4. Nếu $\angle ADE = \angle BAC$, theo định lý về góc đồng vị, ta có $DE // AC$. Chứng minh $BC // MN$: 1. Giả sử $M$ và $N$ là hai điểm nằm trên các đường thẳng khác nhau sao cho $MN$ cắt $BC$. 2. Để chứng minh $BC // MN$, ta cần chứng minh rằng góc $\angle BNM = \angle NCB$ hoặc góc $\angle MNB = \angle CBN$. 3. Nếu $MN$ cắt $BC$ tại một điểm nào đó, thì hai góc $\angle BNM$ và $\angle NCB$ là hai góc đồng vị. 4. Nếu $\angle BNM = \angle NCB$, theo định lý về góc đồng vị, ta có $BC // MN$. Lưu ý: Để chứng minh các góc bằng nhau, có thể cần sử dụng các tính chất khác của tam giác hoặc các định lý về đường thẳng song song, chẳng hạn như định lý Talet hoặc định lý về góc nội tiếp. Với các thông tin cụ thể hơn về hình vẽ và các điểm, ta có thể đưa ra lập luận chi tiết hơn. Bài 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh tứ giác BMCN là hình bình hành. Để chứng minh tứ giác BMCN là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. 1. Theo giả thiết, $DN = DM$. Do đó, $DN = DM$. 2. Vì M là trung điểm của AD (do AD là đường trung tuyến), nên $AM = MD$. 3. Từ (1) và (2), ta có $DN = DM$ và $AM = MD$. Do đó, $AN = AM$. 4. Xét hai tam giác $\triangle BMD$ và $\triangle CND$: - $BM = CN$ (do $DN = DM$ và $AN = AM$). - $BD = CD$ (do D là trung điểm của BC). 5. Do đó, $\triangle BMD \cong \triangle CND$ (cạnh-cạnh-cạnh). 6. Từ đó suy ra $BM = CN$ và $BD = CD$, do đó $BC = MN$. 7. Vì $BM = CN$ và $BC = MN$, tứ giác BMCN là hình bình hành. b) Chứng minh $\frac{AM}{AN}=\frac{AE}{AC}$. 1. Ta có $N$ là điểm trên tia đối của tia $DM$ sao cho $DN = DM$. Do đó, $AN = AM + MN$. 2. Vì $M$ là trung điểm của $AD$, nên $AM = \frac{1}{2}AD$. 3. Từ hình bình hành $BMCN$, ta có $MN = BC$. 4. Do đó, $AN = AM + BC = \frac{1}{2}AD + BC$. 5. Xét tam giác $\triangle AEC$ và $\triangle ANC$: - $AE$ là đường trung tuyến của tam giác $\triangle AEC$. - $AN$ là đường trung tuyến của tam giác $\triangle ANC$. 6. Do đó, $\frac{AM}{AN} = \frac{AE}{AC}$. c) Chứng minh $EF//BC$. 1. Xét tam giác $\triangle AEC$ và $\triangle AFB$: - $E$ và $F$ là các điểm trên $AC$ và $AB$ tương ứng. 2. Do $M$ là trung điểm của $AD$, $BM$ cắt $AC$ tại $E$, và $CM$ cắt $AB$ tại $F$, ta có: - $AE = EC$ và $AF = FB$. 3. Do đó, $EF$ là đường trung bình của tam giác $\triangle ABC$. 4. Theo tính chất đường trung bình, $EF$ song song với $BC$. Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán. Bài 4: Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý Thales và các tính chất của trọng tâm tam giác. a) Chứng minh \(\frac{BE}{AE}=\frac{MG}{AG}\). 1. Sử dụng định lý Thales: - Vì \(M\) và \(N\) là các điểm trên \(AD\) sao cho \(BM \parallel EF \parallel CN\), theo định lý Thales, ta có: \[ \frac{BE}{AE} = \frac{BM}{AM} \] 2. Tính chất của trọng tâm: - Trọng tâm \(G\) chia trung tuyến \(AD\) theo tỉ lệ \(2:1\), tức là: \[ \frac{AG}{GD} = 2 \] 3. Sử dụng tính chất song song: - Vì \(BM \parallel EF\), theo định lý Thales, ta có: \[ \frac{BM}{AM} = \frac{MG}{AG} \] 4. Kết hợp các tỉ lệ: - Từ các bước trên, ta có: \[ \frac{BE}{AE} = \frac{MG}{AG} \] b) Chứng minh \(\frac{BE}{AE}+\frac{CF}{AF}=1\). 1. Sử dụng định lý Thales: - Tương tự như trên, vì \(EF\) cắt \(AB\) và \(AC\) tại \(E\) và \(F\), ta có: \[ \frac{BE}{AE} = \frac{BG}{AG} \quad \text{và} \quad \frac{CF}{AF} = \frac{CG}{AG} \] 2. Tính chất của trọng tâm: - Vì \(G\) là trọng tâm, ta có: \[ \frac{BG}{AG} + \frac{CG}{AG} = 1 \] 3. Kết hợp các tỉ lệ: - Từ các bước trên, ta có: \[ \frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = \frac{BG}{AG} + \frac{CG}{AG} = 1 \] Vậy, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.