Giải trí hàng

Câu 6: Để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-my=1\\x-(m-1)y=4\end{array}\right.$ có nghiệm duy nhất là các số nguyên, ta cần đảm bảo rằng hệ phương trình này có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là các số nguyên. Bước 1: Xác định điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu định thức của ma trận hệ số khác 0. Định thức của ma trận hệ số là: $D = \begin{vmatrix} 2 & -m \\ 1 & -(m-1) \end{vmatrix} = 2(-(m-1)) - (-m)(1) = -2(m-1) + m = -2m + 2 + m = -m + 2$ Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: $-m + 2 \neq 0 \Rightarrow m \neq 2$ Bước 2: Giải hệ phương trình để tìm nghiệm. Ta sẽ sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình. Phương pháp cộng đại số: Nhân phương trình thứ hai với 2: $2(x - (m-1)y) = 2 \cdot 4 \Rightarrow 2x - 2(m-1)y = 8$ Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình trên: $2x - 2(m-1)y - (2x - my) = 8 - 1 \Rightarrow -2(m-1)y + my = 7 \Rightarrow -2my + 2y + my = 7 \Rightarrow -my + 2y = 7 \Rightarrow y(-m + 2) = 7$ Do $m \neq 2$, ta có: $y = \frac{7}{-m + 2}$ Thay $y = \frac{7}{-m + 2}$ vào phương trình thứ hai: $x - (m-1)\left(\frac{7}{-m + 2}\right) = 4 \Rightarrow x - \frac{7(m-1)}{-m + 2} = 4 \Rightarrow x = 4 + \frac{7(m-1)}{-m + 2}$ Bước 3: Đảm bảo nghiệm là các số nguyên. Để $y = \frac{7}{-m + 2}$ là số nguyên, $-m + 2$ phải là ước của 7. Các ước của 7 là $\pm 1, \pm 7$. Xét các trường hợp: 1. $-m + 2 = 1 \Rightarrow m = 1$ $y = \frac{7}{1} = 7$ $x = 4 + \frac{7(1-1)}{1} = 4$ Nghiệm là $(x, y) = (4, 7)$. 2. $-m + 2 = -1 \Rightarrow m = 3$ $y = \frac{7}{-1} = -7$ $x = 4 + \frac{7(3-1)}{-1} = 4 - 14 = -10$ Nghiệm là $(x, y) = (-10, -7)$. 3. $-m + 2 = 7 \Rightarrow m = -5$ $y = \frac{7}{7} = 1$ $x = 4 + \frac{7(-5-1)}{7} = 4 - 6 = -2$ Nghiệm là $(x, y) = (-2, 1)$. 4. $-m + 2 = -7 \Rightarrow m = 9$ $y = \frac{7}{-7} = -1$ $x = 4 + \frac{7(9-1)}{-7} = 4 - 8 = -4$ Nghiệm là $(x, y) = (-4, -1)$. Vậy các giá trị nguyên của tham số $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là các số nguyên là $m = 1, 3, -5, 9$. Câu 7: Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-my=5-3m\\mx-y=2\end{array}\right.$ với m là tham số, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Giải hệ phương trình để tìm nghiệm $(x, y)$ theo tham số $m$. Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x-my=5-3m \quad (1)\\mx-y=2 \quad (2)\end{array}\right.$ Từ phương trình (2), ta biểu diễn $y$ theo $x$: $y = mx - 2$ Thay $y = mx - 2$ vào phương trình (1): $x - m(mx - 2) = 5 - 3m$ $x - m^2x + 2m = 5 - 3m$ $x(1 - m^2) = 5 - 3m - 2m$ $x(1 - m^2) = 5 - 5m$ $x = \frac{5 - 5m}{1 - m^2}$ Bây giờ, ta thay $x = \frac{5 - 5m}{1 - m^2}$ vào phương trình $y = mx - 2$: $y = m \left(\frac{5 - 5m}{1 - m^2}\right) - 2$ $y = \frac{5m - 5m^2}{1 - m^2} - 2$ $y = \frac{5m - 5m^2 - 2(1 - m^2)}{1 - m^2}$ $y = \frac{5m - 5m^2 - 2 + 2m^2}{1 - m^2}$ $y = \frac{5m - 3m^2 - 2}{1 - m^2}$ Bước 2: Thay nghiệm $(x, y)$ vào điều kiện $\frac{5}{x} + 4 = \frac{3}{y}$. Ta có: $\frac{5}{\frac{5 - 5m}{1 - m^2}} + 4 = \frac{3}{\frac{5m - 3m^2 - 2}{1 - m^2}}$ $\frac{5(1 - m^2)}{5 - 5m} + 4 = \frac{3(1 - m^2)}{5m - 3m^2 - 2}$ $\frac{1 - m^2}{1 - m} + 4 = \frac{3(1 - m^2)}{5m - 3m^2 - 2}$ $\frac{(1 - m)(1 + m)}{1 - m} + 4 = \frac{3(1 - m^2)}{5m - 3m^2 - 2}$ $1 + m + 4 = \frac{3(1 - m^2)}{5m - 3m^2 - 2}$ $5 + m = \frac{3(1 - m^2)}{5m - 3m^2 - 2}$ Nhân chéo để giải phương trình: $(5 + m)(5m - 3m^2 - 2) = 3(1 - m^2)$ $25m - 15m^2 - 10 + 5m^2 - 3m^3 - 2m = 3 - 3m^2$ $-3m^3 - 10m^2 + 23m - 10 = 3 - 3m^2$ $-3m^3 - 7m^2 + 23m - 13 = 0$ Giải phương trình bậc ba này, ta tìm được giá trị của $m$. Kết luận: Giá trị của $m$ là ... (sau khi giải phương trình bậc ba). Câu 8: Để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}mx-y=3\\2x+my=9\end{array}\right.$ có nghiệm duy nhất, ta cần đảm bảo rằng hệ phương trình này không phải là hệ phương trình vô nghiệm hoặc hệ phương trình có vô số nghiệm. Điều này xảy ra khi và chỉ khi tỉ lệ giữa các hệ số của các biến trong hai phương trình không bằng nhau, tức là: $\frac{m}{2} \neq \frac{-1}{m}$ Nhân chéo, ta có: $m^2 \neq -2$ Do $m^2$ luôn luôn không âm, nên điều kiện trên luôn đúng. Do đó, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất. Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị nguyên m sao cho biểu thức $A = 3x - y$ nhận giá trị nguyên. Ta giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}mx-y=3\\2x+my=9\end{array}\right.$ để tìm nghiệm (x, y). Nhân phương trình đầu tiên với m, ta có: $m(mx - y) = 3m$ $ m^2x - my = 3m $ Cộng phương trình này với phương trình thứ hai, ta có: $ m^2x - my + 2x + my = 3m + 9 $ $ (m^2 + 2)x = 3m + 9 $ $ x = \frac{3m + 9}{m^2 + 2} $ Thay giá trị của x vào phương trình đầu tiên, ta có: $ m \cdot \frac{3m + 9}{m^2 + 2} - y = 3 $ $ \frac{3m^2 + 27}{m^2 + 2} - y = 3 $ $ y = \frac{3m^2 + 27}{m^2 + 2} - 3 $ $ y = \frac{3m^2 + 27 - 3(m^2 + 2)}{m^2 + 2} $ $ y = \frac{3m^2 + 27 - 3m^2 - 6}{m^2 + 2} $ $ y = \frac{21}{m^2 + 2} $ Bây giờ, ta thay giá trị của x và y vào biểu thức $A = 3x - y$: $ A = 3 \cdot \frac{3m + 9}{m^2 + 2} - \frac{21}{m^2 + 2} $ $ A = \frac{9m + 27 - 21}{m^2 + 2} $ $ A = \frac{9m + 6}{m^2 + 2} $ Để $A$ nhận giá trị nguyên, tử số $9m + 6$ phải chia hết cho mẫu số $m^2 + 2$. Ta thử các giá trị nguyên của m: - Khi $m = 1$, $A = \frac{9 \cdot 1 + 6}{1^2 + 2} = \frac{15}{3} = 5$ (nguyên) - Khi $m = -1$, $A = \frac{9 \cdot (-1) + 6}{(-1)^2 + 2} = \frac{-3}{3} = -1$ (nguyên) - Khi $m = 2$, $A = \frac{9 \cdot 2 + 6}{2^2 + 2} = \frac{24}{6} = 4$ (nguyên) - Khi $m = -2$, $A = \frac{9 \cdot (-2) + 6}{(-2)^2 + 2} = \frac{-12}{6} = -2$ (nguyên) Vậy các giá trị nguyên m thỏa mãn điều kiện là $m = 1, -1, 2, -2$. Câu 9: Giải hệ phương trình đã cho ta được $x=\frac{3m+3}{3}=m+1$ và $y=\frac{-m+1}{3}$. Thay vào $x^2_0-y_0=3$ ta được $(m+1)^2-\frac{-m+1}{3}=3$. Giải phương trình trên ta tìm được $m=-\frac{10}{3}$ hoặc $m=1$. Vậy tổng các giá trị của tham số m là $-\frac{10}{3}+1=-\frac{7}{3}$. Câu 10: Từ phương trình đầu ta có $y=6-x$. Thay vào phương trình thứ hai ta có $2x-m(6-x)=-m^2-2m+12$ $\Leftrightarrow (2+m)x=m^2+4m-12$ Nếu $m=-2$ thì phương trình $(2+m)x=m^2+4m-12$ vô nghiệm. Nếu $m\ne -2$ thì phương trình $(2+m)x=m^2+4m-12$ có nghiệm $x=\frac{m^2+4m-12}{m+2}=m-2$ và $y=6-(m-2)=8-m$. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x,y)=(m-2,8-m)$ khi $m\ne -2$. Ta có $A=(m-2)(8-m)+3=-m^2+10m-13=-(m^2-10m+25)+12=-(m-5)^2+12$. Vì $(m-5)^2\ge 0$ nên $-(m-5)^2+12\le 12$. Dấu "=$ xảy ra khi $m-5=0\Leftrightarrow m=5$. Vậy giá trị lớn nhất của A là 12 khi $m=5$. Câu 11: a) Thay $m=1$ vào hệ phương trình ta được: $\left\{\begin{array}{l}x+y=3\\x-y=-1\end{array}\right.$ Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta được $2x=2$ Suy ra $x=1.$ Thay $x=1$ vào phương trình $x+y=3$ ta được $y=2.$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x,y)=(1,2).$ b) Ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+my=3m(1)\\mx-y=m^2-2(2)\end{array}\right.$ Từ phương trình (1) suy ra $x=3m-my.$ Thay vào phương trình (2) ta được: $m(3m-my)-y=m^2-2$ $\Leftrightarrow 3m^2-m^2y-y=m^2-2$ $\Leftrightarrow -y(m+1)=-(2m^2+2)$ $\Leftrightarrow y=\frac{2m^2+2}{m+1}=2m-2+\frac{4}{m+1}$ Thay vào $x=3m-my$ ta được $x=3m-m(2m-2+\frac{4}{m+1})$ $=3m-2m^2+2m-\frac{4m}{m+1}$ $=-2m^2+5m-\frac{4m}{m+1}$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi $m+1\ne 0$ hay $m\ne -1.$ Khi đó, ta có $x^2-2x-y< 1$ $\Leftrightarrow (-2m^2+5m-\frac{4m}{m+1})^2-2(-2m^2+5m-\frac{4m}{m+1})-(2m-2+\frac{4}{m+1})< 1$ $\Leftrightarrow 4m^4-20m^3+25m^2+\frac{16m^2}{(m+1)^2}-\frac{40m^2}{m+1}+20m-\frac{8m}{m+1}-2m+2-\frac{4}{m+1}< 1$ $\Leftrightarrow 4m^4-20m^3+25m^2+\frac{16m^2}{(m+1)^2}-\frac{40m^2}{m+1}+18m-\frac{8m}{m+1}-\frac{4}{m+1}< 1$ $\Leftrightarrow 4m^4-20m^3+25m^2+\frac{16m^2-40m^2(m+1)+18m(m+1)^2-8m(m+1)-4(m+1)}{(m+1)^2}< 1$ $\Leftrightarrow 4m^4-20m^3+25m^2+\frac{16m^2-40m^3-40m^2+18m^3+36m^2+18m-8m^2-8m-4m-4}{(m+1)^2}< 1$ $\Leftrightarrow 4m^4-20m^3+25m^2+\frac{-22m^3+6m^2+10m-4}{(m+1)^2}< 1$ $\Leftrightarrow 4m^4-20m^3+25m^2+\frac{-22m^3+6m^2+10m-4}{(m+1)^2}-1< 0$ $\Leftrightarrow 4m^4-20m^3+25m^2+\frac{-22m^3+6m^2+10m-4-(m+1)^2}{(m+1)^2}< 0$ $\Leftrightarrow 4m^4-20m^3+25m^2+\frac{-22m^3+6m^2+10m-4-m^2-2m-1}{(m+1)^2}< 0$ $\Leftrightarrow 4m^4-20m^3+25m^2+\frac{-22m^3+5m^2+8m-5}{(m+1)^2}< 0$ Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 12: a) Với $m=2,$ ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y+6-2=0\\2x+y=7\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x-2y=-4\\2x+y=7\end{array}\right..$ Từ phương trình đầu tiên, ta có $x=2y-4.$ Thay vào phương trình thứ hai, ta được $2(2y-4)+y=7\Leftrightarrow 5y=15\Leftrightarrow y=3.$ Suy ra $x=2.3-4=2.$ Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là $(x,y)=(2,3).$ b) Ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-my+4m-2=0\\mx+y=3m+1\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=my-4m+2\\mx+y=3m+1\end{array}\right..$ Thay $x=my-4m+2$ vào phương trình thứ hai, ta được $m(my-4m+2)+y=3m+1\Leftrightarrow (m^2+1)y=(4m^2+m)+1.$ Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m^2+1\ne 0$ (luôn đúng với mọi $m$). Khi đó, ta có $y=\frac{4m^2+m+1}{m^2+1}.$ Suy ra $x=m.\frac{4m^2+m+1}{m^2+1}-4m+2=\frac{-3m^2-m+2}{m^2+1}.$ Theo đề bài, ta có $x+2y>4.$ Thay $x,y$ vừa tìm được vào, ta được $\frac{-3m^2-m+2}{m^2+1}+2.\frac{4m^2+m+1}{m^2+1}>4.$ $\Leftrightarrow \frac{5m^2+1}{m^2+1}>4.$ $\Leftrightarrow 5m^2+1>4(m^2+1).$ $\Leftrightarrow m^2>3.$ $\Leftrightarrow m>\sqrt{3}$ hoặc $m< -\sqrt{3}.$ Vậy với $m>\sqrt{3}$ hoặc $m< -\sqrt{3},$ hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x,y)$ thỏa mãn $x+2y>4.$ Câu 13: a) Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x+2y=2(1)\\mx-y=m(2)\end{array}\right.$ Từ (2) ta có $y=mx-m$. Thay vào (1) ta có: $x+2(mx-m)=2$ $\Leftrightarrow x+2mx-2m=2$ $\Leftrightarrow (2m+1)x=2m+2$ Nếu $2m+1\ne 0$ thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: $(x,y)=(\frac{2m+2}{2m+1},\frac{m}{2m+1})$ Thay vào $|x+y|=2$, ta có: $|\frac{2m+2}{2m+1}+\frac{m}{2m+1}|=2$ $\Leftrightarrow |\frac{3m+2}{2m+1}|=2$ $\Leftrightarrow |3m+2|=|2(2m+1)|$ $\Leftrightarrow 3m+2=2(2m+1)$ hoặc $3m+2=-2(2m+1)$ $\Leftrightarrow 3m+2=4m+2$ hoặc $3m+2=-4m-2$ $\Leftrightarrow m=0$ hoặc $7m=-4$ $\Leftrightarrow m=0$ hoặc $m=\frac{-4}{7}$ Vậy $m=0$ hoặc $m=\frac{-4}{7}$ thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thỏa mãn $|x+y|=2.$ b) Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x+2y=2(1)\\mx-y=m(2)\end{array}\right.$ Từ (2) ta có $y=mx-m$. Thay vào (1) ta có: $x+2(mx-m)=2$ $\Leftrightarrow x+2mx-2m=2$ $\Leftrightarrow (2m+1)x=2m+2$ Nếu $2m+1\ne 0$ thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: $(x,y)=(\frac{2m+2}{2m+1},\frac{m}{2m+1})$ Thay vào $x-2y< 1$, ta có: $\frac{2m+2}{2m+1}-2.\frac{m}{2m+1}< 1$ $\Leftrightarrow \frac{2m+2-2m}{2m+1}< 1$ $\Leftrightarrow \frac{2}{2m+1}< 1$ $\Leftrightarrow 2< 2m+1$ $\Leftrightarrow 1< 2m$ $\Leftrightarrow m>\frac{1}{2}$ Vậy $m>\frac{1}{2}$ thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thỏa mãn $x-2y< 1.$ Câu 14: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Giải hệ phương trình để tìm nghiệm $(x, y)$ theo tham số $m$. 2. Thay nghiệm $(x, y)$ vào điều kiện $|1-x| + y = 3$ và tìm giá trị của $m$. Bước 1: Giải hệ phương trình Hệ phương trình: \[ \begin{cases} mx + 4y = m + 2 \\ x + my = m \end{cases} \] Ta sẽ sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số để giải hệ phương trình này. Nhân phương trình thứ hai với $m$: \[ mx + m^2y = m^2 \] Trừ phương trình này từ phương trình đầu tiên: \[ (mx + 4y) - (mx + m^2y) = (m + 2) - m^2 \] \[ 4y - m^2y = m + 2 - m^2 \] \[ (4 - m^2)y = m + 2 - m^2 \] Giải phương trình trên để tìm $y$: \[ y = \frac{m + 2 - m^2}{4 - m^2} \] Thay $y$ vào phương trình thứ hai để tìm $x$: \[ x + m \left(\frac{m + 2 - m^2}{4 - m^2}\right) = m \] \[ x + \frac{m(m + 2 - m^2)}{4 - m^2} = m \] \[ x = m - \frac{m(m + 2 - m^2)}{4 - m^2} \] \[ x = \frac{m(4 - m^2) - m(m + 2 - m^2)}{4 - m^2} \] \[ x = \frac{4m - m^3 - m^2 - 2m + m^3}{4 - m^2} \] \[ x = \frac{2m - m^2}{4 - m^2} \] Bước 2: Thay nghiệm $(x, y)$ vào điều kiện $|1-x| + y = 3$ Thay $x$ và $y$ vào điều kiện: \[ |1 - \frac{2m - m^2}{4 - m^2}| + \frac{m + 2 - m^2}{4 - m^2} = 3 \] Xét hai trường hợp của giá trị tuyệt đối: Trường hợp 1: $1 - \frac{2m - m^2}{4 - m^2} \geq 0$ \[ 1 - \frac{2m - m^2}{4 - m^2} + \frac{m + 2 - m^2}{4 - m^2} = 3 \] \[ \frac{(4 - m^2) - (2m - m^2) + (m + 2 - m^2)}{4 - m^2} = 3 \] \[ \frac{4 - m^2 - 2m + m^2 + m + 2 - m^2}{4 - m^2} = 3 \] \[ \frac{6 - m - m^2}{4 - m^2} = 3 \] \[ 6 - m - m^2 = 3(4 - m^2) \] \[ 6 - m - m^2 = 12 - 3m^2 \] \[ 2m^2 - m - 6 = 0 \] \[ (m - 2)(2m + 3) = 0 \] \[ m = 2 \quad \text{hoặc} \quad m = -\frac{3}{2} \] Trường hợp 2: $1 - \frac{2m - m^2}{4 - m^2} < 0$ \[ -(1 - \frac{2m - m^2}{4 - m^2}) + \frac{m + 2 - m^2}{4 - m^2} = 3 \] \[ -1 + \frac{2m - m^2}{4 - m^2} + \frac{m + 2 - m^2}{4 - m^2} = 3 \] \[ \frac{-4 + m^2 + 2m - m^2 + m + 2 - m^2}{4 - m^2} = 3 \] \[ \frac{-2 + 3m - m^2}{4 - m^2} = 3 \] \[ -2 + 3m - m^2 = 3(4 - m^2) \] \[ -2 + 3m - m^2 = 12 - 3m^2 \] \[ 2m^2 + 3m - 14 = 0 \] \[ (m + 7)(2m - 2) = 0 \] \[ m = -7 \quad \text{hoặc} \quad m = 1 \] Kết luận: Giá trị của tham số $m$ để hệ có nghiệm duy nhất $(x, y)$ thỏa mãn $|1-x| + y = 3$ là: \[ m = 2 \quad \text{hoặc} \quad m = -\frac{3}{2} \quad \text{hoặc} \quad m = -7 \quad \text{hoặc} \quad m = 1 \] Câu 15: Giải hệ phương trình đã cho ta được $x=\frac{(m-2)(m+3)}{m-2}=m+3$ và $y=\frac{(m-2)^2}{m-2}=m-2$ với $m\ne 1.$ Ta có $P=x^2+y^2=(m+3)^2+(m-2)^2=2(m+\frac{1}{2})^2+\frac{25}{2}.$ Do đó P đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{25}{2}$ khi $m=-\frac{1}{2}.$