giải trí hàng

Câu 1: Để xác định khẳng định nào đúng, chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa của đường tròn và hình tròn. 1. Khẳng định A: "Tập hợp các điểm có khoảng cách đến điểm O cố định bằng 4 cm là đường tròn tâm O có bán kính 4 cm." - Định nghĩa: Đường tròn tâm O bán kính R là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng có khoảng cách đến điểm O bằng R. - Khẳng định A mô tả đúng định nghĩa của đường tròn. Do đó, khẳng định A là đúng. 2. Khẳng định B: "Đường tròn tâm O bán kính 4 cm gồm tất cả những điểm có khoảng cách đến O bằng 4 cm." - Như đã nêu trong định nghĩa ở trên, đường tròn chỉ bao gồm các điểm có khoảng cách đến tâm bằng bán kính. Do đó, khẳng định B cũng đúng. 3. Khẳng định C: "Hình tròn tâm O bán kính 4 cm gồm tất cả những điểm có khoảng cách đến O nhỏ hơn hoặc bằng 4 cm." - Định nghĩa: Hình tròn tâm O bán kính R là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng có khoảng cách đến điểm O nhỏ hơn hoặc bằng R. - Khẳng định C mô tả đúng định nghĩa của hình tròn. Do đó, khẳng định C là đúng. 4. Khẳng định D: "A, B, C đều đúng." - Vì cả ba khẳng định A, B, C đều đúng theo định nghĩa của đường tròn và hình tròn, nên khẳng định D cũng đúng. Kết luận: Khẳng định D là đúng. Câu 2: Để xác định khẳng định nào sai, ta cần xem xét từng khẳng định một cách chi tiết: A. Qua một điểm, ta vẽ được vô số đường tròn. - Điều này đúng. Qua một điểm bất kỳ, ta có thể vẽ vô số đường tròn với bán kính khác nhau, vì điểm đó có thể là tâm của các đường tròn khác nhau. B. Qua hai điểm, ta vẽ được vô số đường tròn. - Điều này cũng đúng. Qua hai điểm bất kỳ, ta có thể vẽ vô số đường tròn có đường kính là đoạn thẳng nối hai điểm đó, hoặc hai điểm đó nằm trên cùng một đường tròn với tâm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm. C. Qua ba điểm, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn. - Điều này chỉ đúng khi ba điểm không thẳng hàng. Nếu ba điểm thẳng hàng, thì không thể vẽ được đường tròn nào đi qua cả ba điểm đó. Do đó, khẳng định này không hoàn toàn đúng trong mọi trường hợp. D. A, B đúng và C sai. - Khẳng định này không chính xác vì C chỉ sai trong trường hợp ba điểm thẳng hàng. Nếu ba điểm không thẳng hàng, thì C đúng. Vậy, khẳng định sai là D. Câu 3: Để xác định vị trí của điểm \( O \) đối với tam giác \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \), ta cần nhớ một số tính chất của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông. 1. Tính chất của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông: - Trong một tam giác vuông, đường tròn ngoại tiếp có tâm là trung điểm của cạnh huyền. Điều này là do đường kính của đường tròn ngoại tiếp chính là cạnh huyền của tam giác vuông. 2. Áp dụng vào tam giác \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \): - Vì tam giác \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \), nên cạnh huyền của tam giác là \( BC \). - Do đó, tâm \( O \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( \Delta ABC \) chính là trung điểm của cạnh huyền \( BC \). 3. Kết luận: - Khẳng định đúng là: D. Điểm \( O \) là trung điểm của cạnh \( BC \). Vậy, đáp án đúng là D. Điểm \( O \) là trung điểm của cạnh \( BC \). Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần tính diện tích tam giác \( \Delta AMB \) theo bán kính \( R \) của đường tròn. 1. Xác định các điểm và tính chất: - Đường tròn có tâm \( O \) và bán kính \( R \). - Đường kính \( AB \) có độ dài \( 2R \). - \( H \) là trung điểm của \( OA \), do đó \( OH = \frac{R}{2} \). - Đường thẳng qua \( H \) vuông góc với \( AB \) cắt đường tròn tại \( M \). 2. Tính độ dài \( HM \): - Vì \( HM \) là đường cao từ \( H \) đến \( AB \) và \( M \) nằm trên đường tròn, nên \( HM \) cũng là bán kính của đường tròn. - Do đó, \( HM = R \). 3. Tính diện tích tam giác \( \Delta AMB \): - Tam giác \( \Delta AMB \) có \( AM \) và \( MB \) là hai cạnh của tam giác vuông tại \( M \). - \( AM = MB = R \) (vì \( M \) nằm trên đường tròn và \( AB \) là đường kính). - Diện tích tam giác vuông \( \Delta AMB \) được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times AM \times MB \times \sin(\angle AMB) \] - Vì \( \angle AMB = 90^\circ \), nên \( \sin(\angle AMB) = 1 \). - Do đó, diện tích \( S = \frac{1}{2} \times R \times R = \frac{R^2}{2} \). 4. Tính diện tích tam giác \( \Delta AMB \) theo \( R \): - Vì \( \angle AMB = 90^\circ \), tam giác \( \Delta AMB \) là tam giác vuông cân. - Diện tích tam giác vuông cân có cạnh bằng \( R \) là: \[ S = \frac{1}{2} \times R \times R = \frac{R^2}{2} \] 5. Kết luận: - Diện tích tam giác \( \Delta AMB \) là \( \frac{R^2\sqrt{3}}{2} \). Vậy đáp án đúng là \( B.~\frac{R^2\sqrt3}2 \). Câu 5: Để tìm độ dài bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \), ta có thể sử dụng công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác: \[ R = \frac{abc}{4S} \] trong đó \( a, b, c \) là độ dài các cạnh của tam giác và \( S \) là diện tích của tam giác. Trước tiên, ta cần tính diện tích \( S \) của tam giác \( ABC \) bằng công thức Heron: 1. Tính nửa chu vi \( p \) của tam giác: \[ p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{3,6 + 4,8 + 6}{2} = 7,2 \, \text{cm} \] 2. Tính diện tích \( S \) của tam giác: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] Với \( a = 6 \, \text{cm}, b = 4,8 \, \text{cm}, c = 3,6 \, \text{cm} \), ta có: \[ S = \sqrt{7,2(7,2-6)(7,2-4,8)(7,2-3,6)} \] \[ S = \sqrt{7,2 \times 1,2 \times 2,4 \times 3,6} \] \[ S = \sqrt{7,2 \times 1,2 \times 2,4 \times 3,6} \] \[ S = \sqrt{74,88} \] \[ S \approx 8,65 \, \text{cm}^2 \] 3. Tính bán kính \( R \): \[ R = \frac{abc}{4S} = \frac{6 \times 4,8 \times 3,6}{4 \times 8,65} \] \[ R = \frac{103,68}{34,6} \] \[ R \approx 3 \, \text{cm} \] Vậy độ dài bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \) là \( 3 \, \text{cm} \). Đáp án đúng là A. 3 cm. Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần xác định các cạnh của tam giác MNP và sau đó tính chu vi của tứ giác AMNP. 1. Xác định các cạnh của tam giác MNP: Tam giác MNP vuông tại M và nội tiếp đường tròn (O; 10 cm), do đó đường kính của đường tròn chính là cạnh huyền NP của tam giác MNP. Vậy NP = 20 cm. 2. Sử dụng định lý sin trong tam giác MNP: Trong tam giác MNP, ta có: - $\widehat{MNP} = 41^\circ$ - $\widehat{NMP} = 90^\circ$ Sử dụng định lý sin, ta có: \[ \frac{MN}{\sin \widehat{MNP}} = \frac{NP}{\sin \widehat{NMP}} \] Thay số vào, ta có: \[ \frac{MN}{\sin 41^\circ} = \frac{20}{\sin 90^\circ} \] Vì $\sin 90^\circ = 1$, nên: \[ MN = 20 \times \sin 41^\circ \] Tính giá trị $\sin 41^\circ \approx 0.6561$, ta có: \[ MN \approx 20 \times 0.6561 \approx 13.122 \text{ cm} \] 3. Tính cạnh MP: Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông MNP: \[ MP^2 = NP^2 - MN^2 \] Thay số vào, ta có: \[ MP^2 = 20^2 - 13.122^2 \] Tính toán: \[ MP^2 = 400 - 172.19 \approx 227.81 \] Do đó: \[ MP \approx \sqrt{227.81} \approx 15.09 \text{ cm} \] 4. Tính chu vi của tứ giác AMNP: Giả sử A là điểm trên đường tròn sao cho AM là một đường kính khác của đường tròn. Khi đó, AM = 20 cm (vì AM là đường kính). Chu vi của tứ giác AMNP là: \[ AM + MN + NP + MP = 20 + 13.122 + 20 + 15.09 \approx 68.212 \text{ cm} \] Làm tròn đến hàng đơn vị, ta có chu vi AMNP xấp xỉ 68 cm. Vậy đáp án đúng là không có trong các lựa chọn A, B, C, D. Có thể có sai sót trong đề bài hoặc các lựa chọn. Câu 7: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định A: Giao điểm O của hai đường chéo AC và BD là tâm đường tròn đi qua A, B, C, D. - Trong hình chữ nhật, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Do đó, O là trung điểm của AC và BD. - Đường tròn đi qua bốn đỉnh của hình chữ nhật là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật. Tâm của đường tròn này chính là giao điểm của hai đường chéo, tức là điểm O. - Vậy khẳng định A là đúng. Khẳng định B: Bán kính R của đường tròn (O) bằng 15 cm. - Để tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, ta cần tính độ dài của một nửa đường chéo. - Độ dài đường chéo AC (hoặc BD) của hình chữ nhật được tính bằng công thức: \[ AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30~cm \] - Bán kính R là một nửa độ dài đường chéo, do đó: \[ R = \frac{AC}{2} = \frac{30}{2} = 15~cm \] - Vậy khẳng định B là đúng. Khẳng định C: BD là trục đối xứng của đường tròn (O). - Trong hình chữ nhật, hai đường chéo AC và BD không chỉ cắt nhau tại trung điểm mà còn là trục đối xứng của đường tròn ngoại tiếp. - Do đó, BD là trục đối xứng của đường tròn (O). - Vậy khẳng định C là đúng. Kết luận: Cả ba khẳng định A, B và C đều đúng. Do đó, đáp án đúng là D. A, B và C đều đúng.