Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên môn Toán - Ninh Bình năm 2023-2024 (Chính Thức)

Trích dẫn Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên môn Toán - Ninh Bình năm 2023-2024 (Chính Thức)

Sở giáo dục và đào tạo   ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TÍNH NINH BÌNH   NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn thị chuyên: TOÁN - Ngày thi: 03/6/2023 ĐÊ THI CHÍNH THức   Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao để) Đề thị gồm có 06 câu trong 02 trang Câu 1 (2,0 điểm). a) Cho a, b là hai số thực dương phân biệt thỏa mãn   $(1-a)(1-b)+2\sqrt{ab}=1.$   Tính giá trị của biểu thức $$P=\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}-\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$$ b) Biết đa thức   $f(x)=x^3-23x+24$   có ba nghiệm phân biệt a, b, c. Tính giá trị của biểu thức $$Q=a^3+b^3+c^3.$$ Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trình   $(\sqrt{x+23}-\sqrt{x+7})(\sqrt{6-x}+2)=8.$ b) Giải hệ phương trình   $\{\begin{array}{c}x+y+\frac{x}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y}{2}\hfill \\ \frac{9}{4}+\frac{3}{2}(x+\frac{1}{y})=(x+\frac{1}{y})(y+\frac{1}{x})\hfill \end{array}.$   $Unknown$ Câu 3 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn   $a+b+c=6.$   Chứng minh $$\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\ge 2.$$ Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O), Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC và F điểm đối xứng của Ơ qua AB. Đường thẳng BB cắt đường thẳng CP tại H. a) Chứng minh các tứ giác AHBF và AHCE là tứ giác nội tiếp. b) Đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại điểmthứ hai là DD. Chứng minh F, B, D thẳng hàng và DA là tia phân giác của góc EDP. c) Gọi P, Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác AB, AACP CCứng minh sáu điểm B, C, D, O, P, Q cùng thuộc một đường tròn tâm I và giao điểm (khácDD) của đường thẳng AD với đường tròn (T) là trực tâm tam giác APQ. a) Giả sử H thuộc đường tròn (1). Chứng minh các đường thẳng AI, DH, BC, PQ đồng quy Câu 5 (1,0 điểm). Cho p là một số nguyên tố. a) Chngg minh nếu p lẻ àà ồn tại số nguyên sao cho   $(x^2+1)⋮p$   thì   $(p-1)⋮4.$ b) Chứng minh   $2023p+{23}^p-24$   không là số chính phương.