Đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường PTNK TPHCM môn Toán (chuyên)-Năm học 2025 – 2026

Trích dẫn Đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường PTNK TPHCM môn Toán (chuyên)-Năm học 2025 – 2026

Câu 1 (2 điểm). Cho phương trình $x^2-2(m+1)x+2m=0$ (m là tham số). a) Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2.$ b) Chứng minh $x^4_1+x^4_2>\frac92.$ c) Chứng minh $(x_1+\sqrt{x^2_1+1})(x_2+\sqrt{x^2_2+1})=1$ khi và chỉ khi $m=-1.$ Câu 2 (1.5 điểm). Người ta muốn ghi bốn số thực ở bốn đỉnh của hình vuông ABCD (mỗi đỉnh một số) thỏa mãn: i) Bốn số được ghi là đôi một phân biệt; ii) Tổng hai số được ghi ở hai đầu của cạnh AB là 0; iii) Tổng hai số được ghi ở hai đầu của ba cạnh còn lại là ba giá trị phân biệt: 1, 2, 3. a) Hãy chỉ ra một cách ghi thỏa mãn các điều kiện trên. b) Trong các cách ghi thỏa mãn các điều kiện trên, tìm cách ghi có tổng bình phương của các số ở bốn đỉnh là nhỏ nhất. Câu 3 (2 điểm). Cho các số nguyên dương m, n thỏa mãn: $m^2+m+n^2$ chia hết cho tích mn (1). a) Chứng minh không tồn tại m, n thỏa mãn (1) khi $n=3.$ b) Tìm m, n thỏa mãn 11) biết m chia hết cho n. c) Ký hiệu d là ước chung lớn nhất của m và n. Chứng minh nếu m, n thỏa mãn (1) thì $m=d^2.$ Câu 4 (3 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có $\widehat A>\widehat B>\widehat C$ và điểm D trên cung nhỏ AC sao cho $CD>AB.$ Đường trung trực của DB cắt AB tại E; đường trung trực của DC cắt AC tại F. a) Chứng minh các điểm A, D, E, F thuộc một đường tròn và đường tròn này đi qua tâm O của (O). b) Chứng minh rằng tam giác DBE và tam giác DCF đồng dạng. Chứng minh rằng đường cao qua D của tam giác DEF và đường cao qua A của tam giác ABC cắt nhau trên (O). c) Ký hiệu (I) là đường tròn tâm I, đi qua các điểm A, D, E, F. Tiếp tuyến của (I) tại O cắt tiếp tuyến của (O) tại D ở S. Gọi R là trung điểm OD và K là giao điểm của SI với đường tròn ngoại tiếp tam giác SDO $SDO~(K\ne S).$ Chứng minh $\widehat{RKD}=90^0$ và DK đi qua trung điểm của IR.