Dạng 1: Tỉ số diện tích trong tam giác - Toán nâng cao lớp 5

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, lấy điểm N trên BC sao cho $BN = \frac{1}{2}NC$. Điểm M là trung điểm của AB. Tính diện tích tam giác ABC, biết diện tích tam giác BMN bằng 6 cm².

Giải

Kẻ đường cao MH, CK

Ta có ${S_{MBN}} = \frac{1}{2}{S_{MNC}}$(Hai tam giác có chung đường cao MH và $BN = \frac{1}{2}NC$)

Suy ra ${S_{MNC}} = 2 \times {S_{MBN}} = 2 \times 6 = 12$ (cm²)

${S_{BMC}} = {S_{MBN}} + {S_{MNC}} = 6 + 12 = 18$ (cm²)

Ta có ${S_{BMC}} = {S_{AMC}} = 18$ (cm²)

${S_{ABC}} = {S_{BMC}} + {S_{AMC}} = 18 + 18 = 36$ (cm²)

                            Đáp số: 36 cm²

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM gấp rưỡi MB; trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN bằng một nửa AC. Biết diện tích tam giác AMN là 36 cm². Tính diện tích tứ giác BMNC.

Giải

Ta có ${S_{MNB}} = \frac{2}{2}{S_{AMN}}$ (Chung chiều cao hạ từ đỉnh N xuống đáy AB và $MB = \frac{2}{3}MA$)

${S_{MNB}} = \frac{2}{3} \times 36 = 24$ (cm²)

${S_{ABN}} = {S_{AMN}} + {S_{MNB}} = 36 + 24 = 60$ (cm²)

${S_{ABN}} = {S_{BNC}} = 60\,(c{m^2})$ (Vì chung đường cao hạ từ đỉnh B và AN = NC)

Diện tích tứ giác BMNC là

${S_{BMNC}} = {S_{BMN}} + {S_{BNC}} = 24 + 60 = 84\,(c{m^2})$

                  Đáp số: 84 cm²