Dạng 1: Tính nhanh dãy phân số có quy luật - Toán nâng cao lớp 5

Loại 1: Dãy phân số có quy luật mẫu số sau gấp mẫu số trước một số không đổi

Ví dụ 1:

Tính giá trị $$

Phân tích: Nhận xét thấy mẫu số phân số sau hơn mẫu số phân số trước 2 lần. Như vậy khi ta nhân thêm 2 vào thì phân số phía sau sẽ trở thành phân số phía trước.

Bài giải:

$$                      (1)

$$                  (2)

Nhìn vào (1) và (2), chúng ta nhận thấy ở A và 2 x A có nhiều phân số giống nhau. Nếu ta trừ hai vế cho nhau thì được:

 $$= $$$$

  $$ 1 – $$= $$

Ví dụ 2:

Tính $$

Phân tích: Ở bài này, mẫu số sau gấp mẫu số trước 3 lần khi đó ta nhân biểu thức với 3 rồi trừ hai vế để triệt tiêu các phân số ở giữa.

Giải:

Ta có $$

Trừ hai vế ta có:

Ví dụ 3:

Tính giá trị $$

Ta thấy mẫu số của phân số sau gấp 2 lần mẫu số của phân số trước.

Ta có $$

Loại 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu số phân số liền tr­ước là thừa số thứ nhất của mẫu số phân số liền sau

Ví dụ 1:

 = $$

=  $$

= $$

Ví dụ 2: