2. Đề thi vào 10 môn Toán Thái Nguyên năm 2020

Đề bài

Câu 1: 

Không sử dụng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức $$.

Câu 2: 

Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình $$.

Câu 3:  

Cho hàm số bậc nhất $$

a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên $$ Vì sao?

b) Tính các giá trị: $$

Câu 4: 

Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $$ và $$

Câu 5: 

Cho biểu thức $$ với $$.

a) Rút gọn biểu thức $$.

b) Tìm giá trị của $$ để $$.

Câu 6: 

Ông Minh dự định đi bằng xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 80 km trong thời gian định trước. Khi đi được 20 km, tại địa điểm C, xe của ông hỏng nên ông phải dừng lại để sửa xe mất 10 phút. Sau khi sửa xe xong, để đảm bảo thời gian như đã đinh, ông Minh tăng vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đường đi từ C đến B. Hãy tính vận tốc xe của ông Minh trên quãng đường từ A đến C.

Câu 7: 

Cho $$ vuông tại $$ đường cao $$ Biết $$ Tính độ dài cạnh $$ và đường cao $$

Câu 8: 

Cho hai đường tròn $$ và $$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Tiếp tuyến chung ngoài $$ cắt đường thẳng $$ tại điểm $$ với $$ Tính độ dài đoạn thẳng $$ biết $$

Câu 9: 

Cho tam giác $$ cân tại $$ các đường cao $$ cắt nhau tại $$ Chứng minh $$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $$

Câu 10: 

Cho $$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $$ các đường cao $$ cắt nhau tại $$ Đường thẳng $$ cắt đường tròn $$ tại $$

a) Chứng minh $$ cân.

b) Gọi $$ lần lượt là điểm đối xứng với $$ qua $$ và $$ Chứng minh ba điểm $$ thẳng hàng. 

Lời giải chi tiết

Câu 1.

Cách giải:

Không sử dụng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức $$.

Ta có:

Vậy $$.

Câu 2.

Cách giải:

Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình $$.

Ta có:

$$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $$.

Câu 3.

Cách giải:

Cho hàm số bậc nhất $$

a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên $$ Vì sao?

Xét hàm số $$ ta có: $$.

$$ Hàm số $$ đồng biến trên $$

b) Tính các giá trị: $$

Xét hàm số $$ ta có: $$

Vậy $$ và $$

Câu 4.

Cách giải:

Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $$ và $$

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là:

Phương trình có: $$.

$$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:$$ và $$

+) Với $$.

+) Với $$

Vậy hai đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt: $$ và $$

Câu 5.

Cách giải:

Cho biểu thức $$ với $$.

a) Rút gọn biểu thức $$.

Với $$ ta có:

Vậy với $$ thì $$.

b) Tìm giá trị của $$ để $$.

Ta có: $$.

Do $$ nên $$.

Do đó $$.

Kết hợp điều kiện ta có $$.

Vậy để $$ thì $$.

Câu 6.

Cách giải:

Ông Minh dự định đi bằng xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 80 km trong thời gian định trước. Khi đi được 20 km, tại địa điểm C, xe của ông hỏng nên ông phải dừng lại để sửa xe mất 10 phút. Sau khi sửa xe xong, để đảm bảo thời gian như đã đinh, ông Minh tăng vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đường đi từ C đến B. Hãy tính vận tốc xe của ông Minh trên quãng đường từ A đến C.

Gọi vận tốc dự định của ông Minh là $$

Khi đó thời gian dự định ông Minh đi hết quãng đường từ A đến B là: $$

Thời gian ông Minh đi hết quãng đường AC là: $$

Sau khi sửa xe, ông Minh đã tăng vận tốc thêm $$ trên quãng đường CB nên vận tốc ông Minh đi trên quãng đường CB là: $$

Thời gian ông Minh đi hết quãng đường BC là: $$

Tuy phải sửa xe mất $$ phút $$ nhưng ông Minh vẫn đến nơi đúng dự định nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc của ông Minh đi trên quãng đường AC là 40 km/h.

Câu 7.

Cách giải:

Cho $$ vuông tại $$ đường cao $$ Biết $$ Tính độ dài cạnh $$ và đường cao $$

Áp dụng định lý Pitago cho $$ vuông tại $$ ta có:

Áp dụng hệ thức lượng cho cho $$ vuông tại $$ có đường cao $$ ta có:

Vậy $$ và $$

Câu 8.

Cách giải:

Cho hai đường tròn $$ và $$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Tiếp tuyến chung ngoài $$ cắt đường thẳng $$ tại điểm $$ với $$ Tính độ dài đoạn thẳng $$ biết $$

Ta có: $$

$$ là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn $$

$$ (từ vuông góc đến song song)

$$ (định lý Ta-let)

Vậy $$

Câu 9.

Cách giải:

Cho tam giác $$ cân tại $$ các đường cao $$ cắt nhau tại $$ Chứng minh $$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $$

Gọi $$ là trung điểm của $$ $$ là tâm của đường tròn đường kính $$

Ta có: $$ là đường cao của $$ $$

$$ vuông tại $$ $$  (*)

Xét $$ vuông tại $$ có đường trung tuyến $$

$$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).

$$ cân tại $$ (định nghĩa tam giác cân)

$$ (tính chất tam giác cân)  (1)

Vì $$ cân tại $$ có đường cao $$ là trung điểm của $$ (tính chất $$ cân).

Xét $$ vuông tại $$ có đường trung tuyến $$

$$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).

$$ (tính chất tam giác cân). (2)

Lại có: $$ ($$vuông tại $$)

Hay $$

Mặt khác $$ (hai góc đối đỉnh)

$$  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: $$

Hay $$ (**)

Từ (*) và (**) $$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $$ (đpcm)

Câu 10.

Cách giải:

Cho $$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $$ các đường cao $$ cắt nhau tại $$ Đường thẳng $$ cắt đường tròn $$ tại $$

a) Chứng minh $$ cân.

Ta có: $$ là hai đường cao của $$  $$

Xét tứ giác $$ ta có:

Mà đỉnh $$ là hai đỉnh kề nhau

$$ là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

$$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$)

Hay $$     (1)

Xét đường tròn $$ ta có:

$$ và $$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$

$$ (2)

Xét tứ giác $$ ta có:

Mà hai góc này là hai góc đối diện

$$ là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

$$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$)

Hay $$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $$ hay $$

$$ là đường phân giác của $$

Xét $$ ta có: $$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác

$$ cân tại $$ (đpcm)

b) Gọi $$ lần lượt là điểm đối xứng với $$ qua $$ và $$ Chứng minh ba điểm $$ thẳng hàng.

Gọi $$ là giao điểm của $$ và $$ $$ là giao điểm của $$ mà $$

Xét tứ giác $$ ta có:

Mà hai góc này là hai góc đối diện

$$ là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

$$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$).

Xét tứ giác $$ ta có:

Mà hai góc này là hai góc kề nhau

$$ là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

$$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$)

Tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp đường tròn $$

$$ (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). (1)

Ta có: $$ vuông tại $$ $$   (2)

$$ vuông tại $$ $$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $$

$$ là hai góc đối đỉnh

$$ thẳng hàng.

Ta có:$$ là tam giác cân tại $$ (cmt) có đường cao $$

$$ là trung điểm của $$ (tính chất tam giác cân)

Xét $$ ta có:

$$ lần lượt là trung điểm của $$

$$ là đường trung bình của $$

$$ (tính chất đường trung bình).

$$ (4)

Xét $$ ta có:

$$ lần lượt là trung điểm của $$

$$ là đường trung bình của $$

$$ (tính chất đường trung bình).

$$  (5)

Từ (4) và (5) suy ra: $$ thẳng hàng.