3. Đề thi vào 10 môn Toán Cần Thơ năm 2018

Đề bài

Câu 1 (1,0 điểm). Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) $$                                                                                 b)  $$

Câu 2 (1,0 điểm).

a) Rút gọn biểu thức $$

b) Vẽ đồ thị của hàm số $$

Câu 3 (1,5 điểm):

a) Khi thực hiện xây dựng trường điển hình đổi mới năm 2017, hai trường trung học cơ sở A và B có tất cả 760 học sinh đăng ký tham gia nội dung hoạt động trải nghiệm. Đến khi tổng kết, số học sinh tham gia đạt tỷ lệ 85% so với số đã đăng ký. Nếu tính riêng thì tỷ lệ học sinh tham gia của trường A và trường B lần lượt là 80% và 89,5%. Tính số học sinh ban đầu đăng ký tham gia của mỗi trường.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $$ sao cho phương trình $$ có hai nghiệm phân biệt $$ thỏa mãn $$

Câu 4 (2,5 điểm):

Cho đường tròn tâm O và điểm P nằm ngoài (O). Vẽ tiếp tuyến PC của (O) (C là tiếp điểm) và cát tuyến PAB (PA < PB) sao cho các điểm A, B, C nằm cùng phía so với đường thẳng PO. Gọi M là trung điểm của đoạn AB và CD là đường kính của (O).

a) Chứng minh tứ giác PCMO là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi E là giao điểm của đường thẳng PO với đường thẳng BD. Chứng minh AM.DE = AC.DO.

c) Chứng minh đường thẳng CE vuông góc với đường thẳng CA.

Lời giải chi tiết

PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM

PHẦN 2: TỰ LUẬN

Câu 1

Phương pháp:

Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Cách giải:

a) $$

Ta có: $$

Nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: $$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: $$ .

b) $$

Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất là: $$

Câu 2

Phương pháp:

+) Sử dụng công thức $$ và trục căn thức ở mẫu.

+) Lập bảng giá trị các điểm thuộc đồ thị hàm số sau đó vẽ đồ thị hàm số.

Cách giải:

a) Rút gọn biểu thức $$

b) Vẽ đồ thị của hàm số $$

Bảng giá trị

Khi đó đồ thị hàm số đã cho  là 1 đường cong và đi qua các điểm $$

Câu 3

Phương pháp:

a) Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

b) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sau đó áp dụng định lý Vi-ét để làm bài.

Cách giải:

a) Khi thực hiện xây dựng trường điển hình đổi mới năm 2017, hai trường trung học cơ sở A và B có tất cả 760 học sinh đăng ký tham gia nội dung hoạt động trải nghiệm. Đến khi tổng kết, số học sinh tham gia đạt tỷ lệ 85% so với số đã đăng ký. Nếu tính riêng thì tỷ lệ học sinh tham gia của trường A và trường B lần lượt là 80% và 89,5%. Tính số học sinh ban đầu đăng ký tham gia của mỗi trường.

Gọi số học sinh trường A đăng ký hoạt động là $$ (học sinh), $$

Gọi số học sinh trường B đăng ký hoạt động là $$ (học sinh), $$

Khi đó tổng số học sinh hai trường đăng kí là: $$

Số học sinh hai trường tham gia là: $$ (học sinh).

Số học sinh trường A tham gia là: $$ (học sinh).

Số học sinh trường B tham gia là: $$ (học sinh).

Theo đề bài ta có phương trình: $$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $$

Vậy ban đầu trường A có 360 học sinh đăng ký, trường B có 400 học sinh đăng ký.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $$ sao cho phương trình $$ có hai nghiệm phân biệt $$ thỏa mãn $$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $$

Với $$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $$

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $$

Theo đề bài ta có: $$

Vậy $$ hoặc $$ thỏa mãn bài toán.

Câu 4

Phương pháp:

+) Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào các dấu hiệu nhận biết.

+) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng tương ứng sau đó suy ra tỉ lệ cần chứng minh.

Cách giải:

Cho đường tròn tâm O và điểm P nằm ngoài (O). Vẽ tiếp tuyến PC của (O) (C là tiếp điểm) và cát tuyến PAB (PA < PB) sao cho các điểm A, B, C nằm cùng phía so với đường thẳng PO. Gọi M là trung điểm của đoạn AB và CD là đường kính của (O).

a) Chứng minh tứ giác PCMO là tứ giác nội tiếp.

Ta có $$ là trung điểm của $$ (tính chất đường kính và dây cung)

Có $$ là tiếp tuyến của (O) tại C $$

Xét tứ giác $$ ta có: $$

Mà C và M là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh PC dưới 1 góc vuông$$ là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp).

b) Gọi E là giao điểm của đường thẳng PO với đường thẳng BD. Chứng minh AM.DE = AC.DO.

Vì tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp $$ (cùng chắn cung $$)

Mà $$ (hai góc đối đỉnh)

Xét tam giác: $$ và $$ ta có:

$$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$ của đường tròn (O))

c) Chứng minh đường thẳng CE vuông góc với đường thẳng CA.

Ta có: $$

Xét $$ và $$ ta có:

$$  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$)

$$ (hai góc tương ứng).

Lại có: $$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $$)

Mặt khác: $$ (PC là tiếp tuyến của đường tròn tại C)