4. Đề thi vào 10 môn Toán Bình Định năm 2018

Đề bài

Bài 1 (2 điểm):

Cho biểu thức: $$ với $$

a) Rút gọn biểu thức: $$

b) Tìm các giá trị của $$ để $$

Bài 2 (2,0 điểm):

1) Không dùng máy tính, trình bày cách giải hệ phương trình: $$

2) Trong mặt phẳng tọa độ $$ đường thẳng $$ có hệ số góc $$ đi qua điểm $$ cắt các trục $$ lần lượt tại $$ và $$

a) Xác định tọa độ các điểm $$ theo $$

b) Tính diện tích tam giác $$ khi $$

Bài 3 (2,0 điểm). Tìm một số có hai chữ số biết rằng: Hiệu của số ban đầu với số đảo ngược của nó bằng  18 (số đảo ngược của một số là số thu được bằng cách viết các chữ số của số đó theo thứ tự ngược lại) và tổng của số ban đầu với bình phương số đảo ngược của nó bằng 618.

Bài 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm M tùy ý (M không trùng với B, C, H). Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc vủa M lên AB và AC.

a)      Chứng minh tứ giác APMQ nội tiếp được trong đường tròn và xác định tâm O của đường tròn này.

b)      Chứng minh $$.

c)      Chứng minh $$.

Bài 5 (1,0 điểm):

Cho tam giác đều $$ có cạnh bằng $$ Hai điểm $$ lần lượt di động trên hai đoạn thẳng $$ sao cho $$ Đặt $$ và $$ Chứng minh: $$ 

Lời giải

Bài 1:

Phương pháp:

+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Dựa vào kết quả rút gọn biểu thức ở câu a), giải bất phương trình $$ Đối chiếu với điều kiện và kết luận nghiệm $$

Cách giải:

Cho biểu thức: $$ với $$

a) Rút gọn biểu thức: $$

Điều kiện: $$

b) Tìm các giá trị của $$ để $$

Điều kiện: $$

Ta có: $$

Vậy với $$  thì $$

Bài 2:

Phương pháp:

1) Giải phương trình bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

2) a) Phương trình đường thẳng  $$ có hệ số góc $$ đi qua điểm $$ là: $$

+) Điểm $$ Thay tọa độ các điểm $$ và $$ vào công thức hàm số của đường thẳng $$ để tìm tọa độ các điểm $$ theo $$

b) Với $$ ta có phương trình đường thẳng $$

+) Từ đó ta có thể suy ra được tọa độ các điểm $$ và $$

+) Ta có $$ là tam giác vuông tại $$ và có diện tích được tính theo công thức: $$

Cách giải:

1) Không dùng máy tính, trình bày cách giải hệ phương trình: $$

Nhân cả 2 vế của phương trình $$ với $$ sau đó cộng vế với vế của hai phương trình với nhau để tìm $$  Sau đó thế giá trị vừa tìm được của $$ vào phương trình $$ để tìm $$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: $$

2) Trong mặt phẳng tọa độ $$ đường thẳng $$ có hệ số góc $$ đi qua điểm $$ cắt các trục $$ lần lượt tại $$ và $$

a) Xác định tọa độ các điểm A, B theo k.

Gọi phương trình đường thẳng d có hệ số góc k là: $$

Đường thẳng d đi qua điểm $$  nên ta có: $$

Khi đó phương trình đường thẳng d có dạng: $$

Nếu $$ nên điểm M không thuộc vào đường thẳng d trái với giả thiết.  Khi đó ta suy ra $$

+) Đường thẳng d giao với trục Ox (Phương trình y = 0 ) tại điểm A:

Khi đó ta có tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: $$

+) Đường thẳng d giao với trục Oy (phương trình x = 0) tại điểm B:

Khi đó tọa độ điểm B chính là nghiệm của hệ phương trình:

b) Tính diện tích tam giác OAB khi k = 2

Khi k = 2 ta có tọa độ của các điểm A, B là: $$

Ta có tam giác OAB vuông tại A khi đó $$

Vậy khi k = 2 thì ta có: $$

Bài 3.

Phương pháp: giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Bước 1: Đặt ẩn và tìm điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn.

Bước 3: Lập phương trình hoặc hệ phương trình sau đó tìm nghiệm đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Cách giải:

Gọi số có hai chữ số cần tìm là: $$

Số đảo ngược của số  ban đầu là: $$

Theo đề bài, hiệu của số ban đầu với số đảo ngược của nó bằng 18 nên ta có:

Tổng của số ban đầu với bình phương số đảo ngược của nó bằng 618 nên ta có:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy số cần tìm là: 42.

Bài 4.

Phương pháp:

a)      Chứng minh tứ giác APMQ có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b)      Chứng minh OH là trung trực của PQ.

c)      Dựa vào diện tích tam giác: $$

Cách giải:

Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm M tùy ý (M không trùng với B, C, H). Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC.

a)      Chứng minh tứ giác APMQ nội tiếp được trong đường tròn và xác định tâm O của đường tròn này.

Xét tứ giác APMQ có: $$ Tứ giác APMQ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM.

Gọi O là trung điểm của AM $$ tứ giác APMQ nội tiếp được trong đường tròn tâm O đường kính AM.

b)     Chứng minh $$.

Ta có $$ nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AM $$ H thuộc đường tròn $$.

Ta có $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HQ)

         $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HP).

Mà $$ (tam giác ABC đều nên đường cao AH đồng thời là đường phân giác)

$$ cân tại H $$.

Mà $$ (do P, Q đều thuộc $$)  (2).

Từ (1) và (2) $$ là trung trực của PQ.

$$.

c)      Chứng minh $$.

Ta có

Mà $$

Bài  5:

Cách giải:

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Hai điểm M, N lần lượt di động trên hai đoạn thẳng AB, AC sao cho $$. Đặt $$.

Chứng minh $$

Ta có:

Giả sử $$ , kẻ MM’ // BC, NN’ // BC $$.

Áp dụng định lí Ta-let ta có $$

$$ đều $$.

Chứng minh tương tự ta có : $$

MM’ // NN’ ; $$ tứ giác MM’NN’ là hình thang cân.

Ta có $$.

Kẻ $$ ta có : $$.

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông NHM’ có :

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông NHM có :

Ta có

Chứng minh tương tự ta có $$

Vậy $$.