3. Đề thi vào 10 môn Toán Bình Định năm 2019

Đề bài

Câu 1 (2 điểm):

1. Giải phương trình $$

2. Cho biểu thức: $$ với $$

a) Tính giá trị biểu thức $$ khi $$

b) Rút gọn biểu thức $$ khi $$

Câu 2 (2 điểm):

1. Cho phương trình:$$ Tìm $$ để phương trình trên có một nghiệm bằng $$ Tìm nghiệm còn lại.

2. Trong mặt phẳng tọa độ $$ cho ba đường thẳng $$

Tìm hàm số có đồ thị là đường thẳng $$ song song với đường thẳng $$ đồng thời đi qua giao điểm của hai đường thẳng $$ và $$

Câu 3 (1,5 điểm) Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành được $$ công việc. Nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội là bao nhiêu?

Câu 4 (3,5 điểm):

Cho đường tròn tâm $$ bán kính $$ và một đường thẳng $$ không cắt đường tròn $$ Dựng đường thẳng $$ vuông góc với đường thẳng $$ tại điểm $$ Trên đường thẳng $$ lấy điểm $$ (khác điểm $$), qua $$ vẽ hai tiếp tuyến $$ với đường tròn $$ ($$ là các tiếp điểm) sao cho $$ và $$ nằm về hai phía của đường thẳng $$

a) Chứng minh tứ giác $$ nội tiếp được trong đường tròn

b) Đường thẳng $$ cắt đường thẳng $$ tại điểm $$ Chứng minh rằng $$  và $$ là điểm cố định khi điểm $$ chạy trên đường thẳng $$ cố định.

c) Khi $$ Tính diện tích tam giác $$ theo $$

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho $$ là hai số thực thỏa $$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$ 

Lời giải

Câu 1

Phương pháp:

1. Giải phương trình bằng quy tắc chuyển vế, đổi dấu.

2. a) Khi $$ thay vào biểu thức $$ để tính giá trị biểu thức.

b) Thêm bớt 1 vào các căn bậc hai và rút gọn biểu thức nhờ công thức: $$ 

Cách giải:

1. Giải phương trình $$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $$

2. Cho biểu thức: $$ với $$

a) Tính giá trị biểu thức $$ khi $$

Điều kiện: $$

Khi $$ thay vào biểu thức ta được:

Vậy khi $$ thì $$

b) Rút gọn biểu thức $$ khi $$

Điều kiện: $$

Câu 2

Phương pháp:

1. Thay nghiệm $$ vào phương trình để tìm $$ sau đó thay ngược $$ vừa tìm được vào phương trình, giải phương trình để tìm nghiệm còn lại.

2. Gọi phương trình đường thẳng $$ Đường thẳng $$

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $$ Thay tọa độ giao điểm đó vào phương trình đường thẳng $$ để tìm $$ Đối chiếu với điều kiện của $$ rồi kết luận phương trình đường thẳng $$

Cách giải:

1. Cho phương trình:$$ Tìm $$ để phương trình trên có một nghiệm bằng $$ Tìm nghiệm còn lại.

Thay nghiệm $$ vào phương trình  ta được:

Thay $$ vào phương trình ta được: $$

Ta có các hệ số: $$ Nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt là: $$

Vậy với $$ phương trình đã cho có một nghiệm bằng 2.

Nghiệm còn lại của phương trình là: $$ 

2. Gọi phương trình đường thẳng $$ Đường thẳng $$

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $$ Thay tọa độ giao điểm đó vào phương trình đường thẳng $$ để tìm $$ Đối chiếu với điều kiện của $$ rồi kết luận phương trình đường thẳng $$

Gọi phương trình đường thẳng $$

Đường thẳng $$

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $$ là nghiệm của hệ phương trình:

Đường thẳng $$ đi qua giao điểm của hai đường thẳng $$ nên $$ đi qua $$

Thay tọa độ điểm $$ vào phương trình đường thẳng $$ ta được:

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: $$

Câu 3:  

Phương pháp:

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3: Kết luận

Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Cách giải:

Gọi thời gian làm riêng hoàn thành công việc của đội 1 là : $$ (giờ) $$

Vì nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 5 giờ.

Nên thời gian đội 2 làm riêng để hoàn thành công việc là: $$ giờ.

Trong 1 giờ đội thứ nhất làm riêng được: $$ (công việc)

Trong 1 giờ đội thứ hai làm riêng được: $$ (công việc)

Trong 4 giờ đội thứ nhất làm được $$ (công việc)

Trong 4 giờ đội thứ hai làm được $$ (công việc)

Trong 4 giờ cả hai đội làm được: $$ (công việc)

Giải phương trình:

Vậy thời gian hoàn thành công việc của đội 1 là 15 giờ, thời gian hoàn thành công việc của đội hai là $$ (giờ).

Câu 4

Phương pháp:

a) Chỉ ra tứ giác có tổng hai góc đối bằng $$ là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc –góc để suy ra hệ thức đúng.

Chứng minh $$ và $$ đồng dạng để suy ra điểm $$ cố định

c) Sử dụng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và công thức tính diện tích tam giác.

Cách giải:

a)  Vì $$ là hai tiếp tuyến của $$ nên $$

Lại có $$

Xét tứ giác $$ có $$ mà hai góc ở vị trí đối nhau  nên tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Xét $$ có  $$ (do $$ là tiếp tuyến của đường tròn $$)

Từ đó ta có $$ nên 5 điểm $$ cùng thuộc đường tròn đường kính $$

$$  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$)

Xét $$ và $$ có

 $$ (hai góc đối đỉnh)

 $$ (cmt)

 Xét đường tròn đường kính $$ có:

$$ là góc nội tiếp chắn cung $$

$$ là góc nội tiếp chắn cung $$

Mà $$

$$  (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét $$ và $$ có

Mà đường thẳng $$ cố định nên $$ không đổi (vì $$).

$$ không đổi hay điểm $$ cố định khi $$ chạy trên đường thẳng $$ cố định.

c) Gọi $$ là giao điểm của $$ và $$

Xét đường tròn $$ có $$ là hai tiếp tuyến nên $$.

Lại có $$ nên $$ là đường trung trực của $$, suy ra $$ tại $$

Theo câu b) ta có $$$$

Xét tam giác $$ vuông tại $$ theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

+) $$

Suy ra $$

+) $$

Xét tam giác $$ vuông tại $$, theo định lý Pytago ta có:

Suy ra $$

$$ .

Vậy $$

Câu 5

Phương pháp :

+ Biến đổi biểu thức P về dạng tổng và tích.

+ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương.

Cách giải :

Với $$ ta có :

Vì $$ nên $$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $$ ta có :

Dấu  $$

Mà $$

Khi đó : $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $$ là $$ tại $$