Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.

a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.

b) Một hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy bằng \(r\). Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó.

c) Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính \(R\). Nếu hình nón đó có chiều cao bằng \(h\) thì bán kính đáy của nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

Lời giải chi tiết

Hình nón \((N)\) có đỉnh \(S\) và đường tròn đáy là \((O;r)\).

Lấy điểm \(M\) trên \((O;r)\) thì \(\Delta SOM\) vuông tại \(O\).

\(SO\) là trục của đường tròn \((O;r)\) nên \(I\) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình nón khi và chỉ khi \(I\) thuộc \(SO\) và cách đều hai điểm \(S, M\).

Vậy \(I\) là giao điểm của \(SO\) với mặt phẳng trung trực của \(SM\).

Mặt cầu tâm \(I\) bán kính \(R = IS\) là mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.

Kẻ đường kính \(SS’\) của mặt cầu ngoại tiếp hình nón \((SS’ > h)\)

\(\Delta MSS'\) vuông tại \(M\) có đường cao \(MO = r\).

Ta có:

\(\eqalign{
& M{O^2} = OS.OS' \Rightarrow {r^2} = h\left( {SS' - h} \right) \cr
& \Rightarrow SS' = {{{r^2}} \over h} + h = {{{r^2} + {h^2}} \over h} \cr} \)

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là \(R = {1 \over 2}SS' = {{{r^2} + {h^2}} \over {2h}}\)

c) Nếu hình nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy là \(r\) nội tiếp mặt cầu bán kính \(R\) thì theo câu b) ta có hệ thức \({r^2} = h\left( {2R - h} \right)\).

Vậy \(r = \sqrt {h\left( {2R - h} \right)} \)

Độ dài đường sinh \(l = SM = \sqrt {SO.SS'} = \sqrt {2R.h} \)

Diện tích xung quanh của hình nón là \({S_{xq}} = \pi rl = \pi \sqrt {h\left( {2R - h} \right)} .\sqrt {2Rh} \) \(= \pi h\sqrt {2R\left( {2R - h} \right)} \)

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Ôn tập chương II - Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón

Câu hỏi trắc nghiệm chương II - Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024