Bài 20 trang 60 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Một mặt cầu gọi là nội tiếp hình nón nếu nó tiếp xúc với mặt đáy của hình nón và tiếp xúc với mọi đường sinh của hình nón. Khi đó hình nón được gọi là ngoại tiếp mặt cầu.

a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có một mặt cầu nội tiếp duy nhất.

b) Một hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy bằng \(r\). Hãy tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón đó.

Lời giải chi tiết

a) Cho hình nón có đỉnh \(S\) và đáy là đường tròn \((O;r)\).

Tâm \(I\) của mặt cầu nội tiếp hình nón nằm trên \(SO\).

Lấy điểm \(A\) cố định trên \((O;r)\) thì \(I\) là giao điểm của \(SO\) với đường phân giác trong của góc \(A\) của \(\Delta SAO\).

\(I\) hoàn toàn xác định và là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón, bán kính mặt cầu là \(R = IO\).

b) Ta có: \(SA = \sqrt {O{S^2} + O{A^2}}  \) \(= \sqrt {{h^2} + {r^2}} \)

Theo tính chất đường phân giác ta có:

\({{IO} \over {IS}} = {{OA} \over {SA}}\)

\( \Rightarrow {{SA} \over {SI}} = {{OA} \over {IO}} \) \(= {{SA + OA} \over {SI + IO}}\)

\(\Rightarrow {{IO} \over {IO + IS}} = {{OA} \over {OA + SA}} \)

\(\Rightarrow {{IO} \over h} = {r \over {r + \sqrt {{h^2} + {r^2}} }}\)

Vậy bán kính mặt cầu nội tiếp là \(R = IO = {{rh} \over {r + \sqrt {{h^2} + {r^2}} }}\)