Bài 3 trang 94 SGK Hình học 12

Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\) cho ba vectơ \(\overrightarrow a  = ( - 1;1;0)\), \(\overrightarrow b  = (1;1;0)\) và \(\overrightarrow c  = (1;1;1)\)

Cho hình bình hành \(OADB\) có \(\overrightarrow {OA} \) = \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b \) (\(O\) là gốc toạ độ). Toạ độ của tâm hình bình hành \(OADB\) là:

(A) \((0 ; 1 ; 0)\)                      (B) \((1 ; 0 ; 0)\)

(C) \((1 ; 0 ; 1)\)                      (D) \((1 ; 1 ; 0)\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(I\) là tâm của hình bình hành ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OI} \\
\Rightarrow \overrightarrow {OI} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left( {0;2;0} \right) = \left( {0;1;0} \right)
\end{array}\)

Vậy \(I(0;1;0)\)

Chọn (A).

Cách khác:

\(\overrightarrow {OA}  = \left( { - 1;1;0} \right) \Rightarrow A\left( { - 1;1;0} \right)\)

\(\overrightarrow {OB}  = \left( {1;1;0} \right) \Rightarrow B\left( {1;1;0} \right)\)

Vì \(I\) là tâm hình bình hành nên \(I\) là trung điểm \(AB\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{ - 1 + 1}}{2} = 0\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{1 + 1}}{2} = 1\\{z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \dfrac{{0 + 0}}{2} = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( {0;1;0} \right)\)