Bài 46 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao

Tìm các giá trị của \(m\) để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại \(3\) điểm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đường cong đã cho và trục hoành là nghiệm của phương trình:

\(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
{x^2} + 2mx + m + 2 = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr} \right.\)

Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại \(3\) điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1, tức là:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\Delta ' > 0 \hfill \cr 
f\left( { - 1} \right) \ne 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{m^2}-m - 2 > 0 \hfill \cr 
{\left( { - 1} \right)^2} + 2m.\left( { - 1} \right) + m + 2 \ne 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < - 1
\end{array} \right.\\
- m + 3 \ne 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < - 1
\end{array} \right.\\
m \ne 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < - 1\\
2 < m < 3\\
m > 3
\end{array} \right.\)

Vậy \(m < -1\) hoặc \(2 < m < 3\) hoặc \(m > 3\).

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với \(m = -1\)

Lời giải chi tiết:

Với \(m =-1\) ta có \(y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) \) \(= {x^3} - {x^2} - x + 1\)

TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr 
& y' = 3{x^2} - 2x - 1\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
x = - {1 \over 3} \hfill \cr} \right.\cr&y\left( 1 \right) = 0;\,\,y\left( { - {1 \over 3}} \right) = {{32} \over {27}} \cr} \)

Bảng biến thiên: 

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{1}{3};1} \right)\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - \frac{1}{3}\) và \({y_{CD}} = y\left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{{32}}{{27}}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  1\) và \({y_{CT}} = y\left( { 1} \right) = 0\)

\(y'' = 6x - 2\)

\(y'' = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 3};\,y\left( {{1 \over 3}} \right) = {{16} \over {27}}\)

Xét dấu \(y”\)

Điểm uốn \(I\left( {{1 \over 3};{{16} \over {27}}} \right)\)

Điểm đồ thị đi qua:

\(x = 0 \Rightarrow y = 1\)

\(x = 2 \Rightarrow y = 3\)

\(x = -1 \Rightarrow y = 0\)

Đồ thị: Đồ thị nhận điểm uốn \(I\) làm tâm đối xứng.