Bài 5 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao

Chứng minh hai đường thẳng đó chéo nhau. Tìm góc giữa chúng.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng đi qua M(0; 1; 6) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;2;3} \right)\).

Đường thẳng d’ đi qua \(M'\left( {1; - 2;3} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'}  = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {1; - 3; - 3} \right);\) \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 5;4; - 1} \right)\)
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} \) \( =  - 5.1 - 3.4 + 1.3 =  - 14 \ne 0\).
Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.

Vì \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'}  =1.1+2.1-3.1= 0 \) \(\Rightarrow d \bot d'\).

Tìm khoảng cách giữa d và d’.

Lời giải chi tiết:

Gọi h là khoảng cách giữa d và d’, ta có:
\(h = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = {{14} \over {\sqrt {25 + 16 + 1} }} = {{\sqrt {42} } \over 3}\).

Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d’.

Lời giải chi tiết:

d có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = 1 + 2t \hfill \cr 
z = 6 + 3t \hfill \cr} \right.\).

Lấy điểm N(t; 1 + 2t; 6 + 3t)\( \in d\) và \(N'\left( {1 + t'; - 2 + t';3 - t'} \right) \in d'\).
NN’ là đường vuông góc chung của d và d’ khi và chỉ khi \(\overrightarrow {NN'}  \bot \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {NN'}  \bot \overrightarrow {u'} \). Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {NN'} = \left( {1 + t' - t; - 3 + t' - 2t; - 3 - t' - 3t} \right) \cr 
& \left\{ \matrix{
\overrightarrow {NN'} .\overrightarrow u = 0 \hfill \cr 
\overrightarrow {NN'} .\overrightarrow {u'} = 0 \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 + t' - t + 2\left( { - 3 + t' - 2t} \right) + 3\left( { - 3 - t' - 3t} \right) = 0 \hfill \cr 
1 + t' - t - 3 + t' - 2t + 3 + t' + 3t = 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 14 - 14t = 0 \hfill \cr 
1 + 3t' = 0 \hfill \cr} \right.\cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = - 1 \hfill \cr 
t' = - {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(N\left( { - 1; - 1;3} \right)\) và \(N'\left( {{2 \over 3}; - {7 \over 3};{{10} \over 3}} \right)\).
\(\overrightarrow {NN'}  = \left( {{5 \over 3};{{ - 4} \over 3};{1 \over 3}} \right)\).
Phương trình đường vuông góc chung qua \(N\left( { - 1; - 1;3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow v  = 3\overrightarrow {NN'}  = \left( {5; - 4;1} \right)\) nên có phương trình tham số là:

\(\left\{ \matrix{
x = - 1 + 5t \hfill \cr 
y = - 1 - 4t \hfill \cr 
z = 3 + t \hfill \cr} \right.\)

Cách khác:

Theo câu a, ta có d⊥d', vậy đường vuông góc của d và d’ chính là giao tuyến của mp(P) và mp(Q).

Trong đó mp(P) chứa d và vuông góc với d’, mp(Q) chứa d’ và vuông góc với d.

(P) đi qua \(M\left( {0;1;6} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {u'}  = \left( {1;1; - 1} \right)\) làm VTPT nên có phương trình là:

1(x-0)+1(y-1)-1(z-6)=0

\( \Leftrightarrow \) x+y-z+5=0

(Q) đi qua \(M'\left( {1; - 2;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1;2;3} \right)\) làm VTPT nên có phương trình là:

1(x-1)+2(y-2)+3(z-3)=0

\( \Leftrightarrow \)x+2y+3z-6=0

Vậy phương trình đường vuông góc chung của d và d’ là: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - z + 5 = 0\\x + 2y + 3z - 6 = 0\end{array} \right.\)

Cho \(x =  - 1\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - z =  - 4\\2y + 3z = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\z = 3\end{array} \right.\) ta được điểm \(A\left( { - 1; - 1;3} \right) \in \Delta \).

\(\Delta \) là giao tuyến của (P) và (Q) nên \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {5; - 4;1} \right)\).

Vậy \(\Delta \) có PTTS \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 5t\\y =  - 1 - 4t\\z = 3 + t\end{array} \right.\)

Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d’.

Lời giải chi tiết:

Giả sử đường thẳng \(\Delta \) song song với Oz, cắt d và d’ lần lượt tại A và B.
Khi đó ta có \(A\left( {t;1 + 2t;6 + 3t} \right)\,,\) \(B\left( {1 + t', - 2 + t',3 - t'} \right)\) và \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1 + t' - t; - 3 + t' - 2t; - 3 - t' - 3t} \right).\)

Vì \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) nên

\(1 + t' - t = - 3 + t' - 2t = 0\) \( \Rightarrow \left\{ \matrix{
t = - 4 \hfill \cr 
t' = - 5 \hfill \cr} \right.\).

Vậy \(A\left( { - 4; - 7; - 6} \right)\) và \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;0;14} \right)\).
Vậy phương trình của \(\Delta \) là 

\(\left\{ \matrix{
x = - 4 \hfill \cr 
y = - 7 \hfill \cr 
z = - 6 + t \hfill \cr} \right.\)

Cách khác:

Đường thẳng song song với Oz và cắt cả d và d’ là giao tuyến của mp(α) và mp(β);

Trong đó (α) là mặt phẳng chứa d và song song với Oz.

(β) là mặt phẳng chứa d’ và song song với Oz.

Đường thẳng Oz có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\)

Mặt phẳng (α) đi qua M(0; 1; 6) và nhận  \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right] = \left( {2; - 1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên (α) có phương trình là: 2x-y+1=0

Tương tự mp(β) có phương trình: x – y- 3 =0

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\x - y - 3 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y =  - 7\\z \text { tùy ý }\end{array} \right.\)

Hay phương trình tham số của đường thẳng là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y =  - 7\\z = t\end{array} \right.\)