Câu hỏi trắc nghiệm chương III

Cho ba điểm M(2; 0; 0), N(0; - 3; 0), P(0; 0; 4). Nếu MNPQ là một hình bình hành thì tọa độ điểm Q là:

(A) (-2; -3; 4)                      (B) (3; 4; 2)

(C) (2; 3; 4)                         (D) (-2; -3; -4)

Lời giải chi tiết:

MNPQ là hình bình hành

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 - 2 = 0 - {x_Q} \hfill \cr 
- 3 - 0 = 0 - {y_Q} \hfill \cr 
0 - 0 = 4 - {z_Q} \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_Q} = 2 \hfill \cr 
{y_Q} = 3 \hfill \cr 
{z_Q} = 4 \hfill \cr} \right.\)

Vậy Q(2; 3; 4).

Chọn (C).

Cho ba điểm \(A\left( {1;2;0} \right)\,\,,\,\,B\left( {1;0; - 1} \right)\,\,,\,\,C\left( {0; - 1;2} \right).\) Tam giác ABC là:

(A) Tam giác cân đỉnh A;       

(B) Tam giác vuông đỉnh A;

(C) Tam giác đều;

(D) Không phải như (A), (B), (C).

Lời giải chi tiết:

Ta có 

\(\eqalign{
& AB = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {-1 - 0} \right)}^2}} = \sqrt 5 \cr 
& AC = \sqrt {{{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {14} \cr 
& BC = \sqrt {{{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {11} \cr 
& \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} > A{C^2} \cr} \)

\(AC>BC>AB\)

Chọn (D)

Cho tam giác ABC có A=(1;0;1), B=(0;2;3), C(2;1;0). Độ dài đường cao tam giác kẻ từ C là:

(A) \(\sqrt {26} \)          (B) \({{\sqrt {26} } \over 2}\)

(C) \({{\sqrt {26} } \over 3}\)           (D) 26

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;2;2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {1;1; - 1} \right)\)

Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB là:  \(h = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = {{\sqrt {26} } \over 3}.\)

Chọn (C).

Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là \(\left( {1;1;1} \right)\,\,;\,\,\left( {2;3;4} \right)\,\,;\,\,\left( {6;5;2} \right).\) Diện tích hình bình hành đó bằng:

(A) \(2\sqrt {83} \)         (B) \(\sqrt {83} \)

(C) 83           (D) \({{\sqrt {83} } \over 2}\)

Lời giải chi tiết:

A(1; 1; 1), B(2; 3; 4), C(6; 5; 2).

\({S_{ABCD}} = 2{S_{ABC}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\) \( = 2\sqrt {83} .\)

Chọn (A).

Cho \(A\left( {1;0;0} \right)\,\,;\,\,B\left( {0;1;0} \right)\,\,;\,\,C\left( {0;0;1} \right)\) và \(D\left( { - 2;1; - 1} \right)\). Thể tích của tứ diện ABCD là:

(A) 1             (B) 2          (C) \({1 \over 3}\)            (D) \({1 \over 2}\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left( { - 1;1;0} \right),\overrightarrow {AC} \left( { - 1;0;1} \right) \cr 
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr 
0\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
0\,\,\,\, - 1 \hfill \cr 
1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 1\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
- 1\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) \cr &= \left( {1;1;1} \right) \cr 
& \overrightarrow {AD} \left( { - 3;1; - 1} \right) \cr 
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 1.\left( { - 3} \right) + 1.1 + 1.\left( { - 1} \right) = - 3 \cr 
& \Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = {3 \over 6} = {1 \over 2}. \cr} \)

Chọn D

Cho \(A\left( { - 1; - 2;4} \right)\,\,;\,\,B\left( { - 4; - 2;0} \right)\,\,;\,\,C\left( {3; - 2;1} \right)\) và \(D\left( {1;1;1} \right)\). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh D là:

(A) 3                 (B) 1                   (C) 2                  (D) \({1 \over 2}\)

Lời giải chi tiết:

Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ D là khoảng cách từ D đến mp(ABC).
Ta có: 

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left( { - 3;0; - 4} \right),\overrightarrow {AC} \left( {4;0; - 3} \right) \cr 
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \matrix{
0\,\,\,\,\,\,\, - 4 \hfill \cr 
0\,\,\,\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 4\,\,\, - 3 \hfill \cr 
- 3\,\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 3\,\,\,\,0 \hfill \cr 
4\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) = \left( {0; - 25;0} \right) = - 25\left( {0;1;0} \right) \cr} \)

Suy ra mặt phẳng (ABC) đi qua A và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {0;1;0} \right)\) là vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng (ABC): \(y + 2 = 0\).

\( \Rightarrow h = d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right) = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt 1 }} = 3.\)
Chọn (A).

Cho bốn điểm \(A\left( {1;1;1} \right)\,\,,\,\,B\left( {1;2;1} \right)\,\,,C\left( {1;1;2} \right)\) và \(D\left( {2;2;1} \right).\) Tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

(A) \(\left( {{3 \over 2}, - {3 \over 2},{3 \over 2}} \right)\)                 (B) \(\left( {{3 \over 2},{3 \over 2},{3 \over 2}} \right)\)

(C) \(\left( {3;3;3} \right)\)                          (D) \(\left( {3; - 3;3} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\,\,\left( 1 \right)\)

Thay tọa độ của A, B, C, D vào (1) ta được hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{
3 - 2a - 2b - 2c + d = 0 \hfill \cr 
6 - 2a - 4b - 2c + d = 0 \hfill \cr 
6 - 2a - 2b - 4c + d = 0 \hfill \cr 
9 - 4a - 4b - 2c + d = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = b = c = {3 \over 2} \hfill \cr 
d = 6 \hfill \cr} \right. \Rightarrow I\left( {{3 \over 2};{3 \over 2};{3 \over 2}} \right)\).

Chọn (B).

Bán kính mặt cầu tâm I(3;3;-4) tiếp xúc với trục Oy bằng:

(A) 5                  (B) 4                (C) \(\sqrt 5 \)                   (D) \({5 \over 2}.\)

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu của I trên trục Oy là I’(0; 3; 0).

Khoảng cách từ điểm I đến trục Oy bằng \(R = II' = \sqrt {{(-3)^2} + {4^2}}  = 5.\)

Chọn (A).

Mặt cầu tâm \(I\left( {2;1; - 1} \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình là:

(A) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4;\)

(B) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 1;\)

(C) \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4;\)

(D) \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2.\)

Lời giải chi tiết:

Mp(Oyz) có phương trình x = 0.

Khoảng cách từ I đến mp(Oyz) là \(R = {{\left| 2 \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = 2.\)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\)

Chọn (A).

Cho ba điểm \(A\left( {1;1;3} \right),\,\,B\left( { - 1;3;2} \right)\) và \(C\left( { - 1;2;3} \right).\)Mặt phẳng (ABC) có phương trình là:

(A) \(x + 2y + 2z - 3 = 0\)         

(B) \(x - 2y + 3z - 3 = 0;\)

(C) \(x + 2y + 2z - 9 = 0;\)     

(D) \({x^2} + 2y + 2z + 9 = 0\).

Lời giải chi tiết:

Mp(ABC) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;2;2} \right).\)

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là:  \(x + 2y + 2z - 9 = 0\)
Chọn (C).

Cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),\,\,B\left( {0;2;0} \right),\,\,C\left( {0;0;3} \right).\) Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt phẳng (ABC)?

(A) \(x + {y \over 2} + {z \over 3} = 1;\)

(B) \(6x + 3y + 2z - 6 = 0;\)

(C) \(6x + 3y + 2z + 6 = 0;\) 

(D) \(12x + 6y + 4z - 12 = 0.\)

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Mp(ABC) \({x \over 1} + {y \over 2} + {z \over 3} = 1\)
Chọn (C).

Cho hai điểm \(A\left( {1;3; - 4} \right)\) và \(B\left( { - 1;2;2} \right)\). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:

(A) \(4x + 2y - 12z - 17 = 0;\) 

(B) \(4x + 2y + 12z - 17 = 0;\)

(C) \(4x - 2y - 12z - 17 = 0;\) 

(D) \(4x - 2y + 12z + 17 = 0.\)

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 1;6} \right).\)
Trung điểm AB là \(I\left( {0;{5 \over 2}; - 1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng tung trực của AB đi qua I và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {AB} \) nên có dạng: \( - 2\left( {x - 0} \right) - \left( {y - {5 \over 2}} \right) + 6\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 2y - 12z - 17 = 0.\)
Chọn (A).

Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), a, b, c là những số dương thay đổi sao cho \({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} = 2.\) Mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ là:

(A) (1; 1; 1)                    (B) (2; 2; 2)

(C) \(\left( {{1 \over 2},{1 \over 2},{1 \over 2}} \right)\)        (D) \(\left( { - {1 \over 2}, - {1 \over 2}, - {1 \over 2}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình mp(ABC): \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1.\)
Mp(ABC) đi qua điểm \(\left( {{1 \over 2};{1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\) cố định. 
Chọn (C).

Cho điểm \(A\left( { - 1;2;1} \right)\) và hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 4y - 6z - 5 = 0\) và \(\left( Q \right):x + 2y - 3z = 0.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

(A) Mp(Q) qua A và song song với (P);

(B) Mp(Q) không qua A và song song với (P);

(C) Mp(Q) qua A và không song song với (P);

(D) Mp(Q) không qua A và không song song với (P).

Lời giải chi tiết:

\(A \in \left( Q \right)\) và (Q) // (P).
Chọn (A).

Cho điểm \(A\left( {1;2; - 5} \right)\). Gọi M, N, P là hình chiếu của A lên ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (MNP) là:

(A) \(x + {y \over 2} - {z \over 5} = 1;\)          (B) \(x + {y \over 2} + {z \over 5} = 1;\)

(C) \(x + {y \over 2} - {z \over 5} = 0;\)            (D) \(x + {y \over 2} - {z \over 5} + 1 = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(M\left( {1;0;0} \right);N\left( {0;2;0} \right),P\left( {0;0; - 5} \right).\)
Mp(MNP): \({x \over 1} + {y \over 2} + {z \over { - 5}} = 1.\)
Chọn (A).

Cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {x + y + z} \right) - 22 = 0\) và mặt phẳng (P): \(3x - 2y + 6z + 14 = 0.\) Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) tới mặt phẳng (P) là:

(A 1              (B) 2                 (C) 3                    (D) 4.

Lời giải chi tiết:

Tâm I(1; 1; 1).
\(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = {{\left| {3 - 2 + 6 + 14} \right|} \over {\sqrt {9 + 4 + 36} }} = 3.\)
Chọn (C).

Mặt phẳng (P) cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C, trọng tâm tam giác ABC là \(G\left( { - 1; - 3;2} \right)\). Phương trình mặt phẳng (P) là:

(A) \(x + y - z - 5 = 0;\) 

(B) \(2x - 3y - z - 1 = 0;\)

(C) \(x + 3y - 2z + 1 = 0;\) 

(D) \(6x + 2y - 3z + 18 = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) thì \(G\left( {{a \over 3};{b \over 3};{c \over 3}} \right) \Rightarrow a =  - 3,\,\,b =  - 9,\,\,c = 6.\)
Mp(ABC): \({x \over { - 3}} + {y \over { - 9}} + {z \over 6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 2y - 3z + 18 = 0.\)
Chọn (D).

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (A’MD).

Một học sinh làm như sau:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Kéo dài DM cắt AB tại E. Khi đó

\(\eqalign{
& A = \left( {0;0;0} \right)\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,E = \left( {2;0;0} \right) \cr 
& D = \left( {0;1;0} \right)\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,A' = \left( {0;0;1} \right) \cr} \)

Bước 2. Viết phương trình mặt phẳng (A’MD):

\({x \over 2} + {y \over 1} + {z \over 1} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 2 = 0.\)
Bước 3. Khoảng cách \(d\left( {A;\left( {A'MD} \right)} \right) = {{\left| { - 2} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 4} }} = {2 \over 3}.\)

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

(A) Đúng;                              (B) Sai ở bước 1;

(C) Sai ở bước 2;                (D) Sai ở bước 3.

Lời giải chi tiết:

Chon A

Cho hai điểm \(A\left( {1; - 1;5} \right)\) và \(B\left( {0;0;1} \right)\). Mặt phẳng (P) chứa A, B và song song với Oy có phương trình là:

(A) \(4x - z + 1 = 0\) 

(B) \(4x + y - z + 1 = 0\)

(C) \(2x + z - 5 = 0\)

(D) \(y + 4z - 1 = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Mp(P) qua A và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow j } \right]\) với \(\overrightarrow j  = \left( {0;1;0} \right).\)

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left( { - 1;1; - 4} \right) \cr 
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow j } \right] = \left( {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\, - 4 \hfill \cr 
1\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 4\,\,\, - 1 \hfill \cr 
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 1\,\,\,\,1 \hfill \cr 
0\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|} \right) = \left( {4;0; - 1} \right) \cr} \)

Chon A

Mặt phẳng (P) chứa trục Oz và điểm \(A\left( {2; - 3;5} \right)\) có phương trình là:

(A) \(2x + 3y = 0;\)                    (B) \(2x - 3y = 0;\)

(C) \(3x + 2y = 0;\)                   (D) \(3x - 2y + z = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Mp(P) qua O và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow k } \right]\) với \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right).\)

\(\eqalign{
& \overrightarrow {OA} \left( {2; - 3;5} \right) \cr 
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| \matrix{
- 3\,\,\,\,5 \hfill \cr 
0\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
5\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr 
1\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2\,\,\,\, - 3 \hfill \cr 
0\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) = \left( { - 3; - 2;0} \right) \cr} \)

Chọn C

Cho mặt phẳng (P) có phương trình \(x - y - 1 = 0.\) Điểm \(H\left( {2; - 1; - 2} \right)\) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên một mặt phẳng (Q). Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:

(A) \({30^0}\)               (B) \({45^0}\)           (C) \({60^0}\)                (D) \({90^0}\)

Lời giải chi tiết:

mp(Q) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m  = \overrightarrow {OH}  = \left( {2; - 1; - 2} \right)\)
Mp(P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1;0} \right)\).
\(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì:
\(\cos \varphi  = {{\left| {\overrightarrow m .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow m } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = {{\left| {2 + 1} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 4} .\sqrt {1 + 1 + 0} }} = {1 \over {\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi  = {45^0}.\)
Chọn (B).

Cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng \(d:{x \over 3} = {{y - 1} \over 4} = z + 3\). Phương trình mặt phẳng (A,d) là:

(A) \(23x + 17y - z + 14 = 0\)

(B) \(23x - 17y - z + 14 = 0;\)

(C) \(23x + 17y + z - 60 = 0;\) 

(D) \(23x - 17y + z - 14 = 0.\)

Lời giải chi tiết:

d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {3,4,1} \right)\) và đi qua \(M\left( {0,1, - 3} \right).\)
Mp(A, d) qua A và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right].\)

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:

\(23x - 17y - z + 14 = 0\)
Chọn (B).

Cho hai đường thẳng

\({d_1}:{{x - 1} \over 1} = {y \over 2} = {{z - 3} \over 3}\,\,;\,\,\,{d_2}:\left\{ \matrix{
x = 2t \hfill \cr 
y = 1 + 4t \hfill \cr 
z = 2 + 6t. \hfill \cr} \right.\)

Khẳng định nào sau đây là đúng?

(A) \({d_1},{d_2}\) cắt nhau;                         (B) \({d_1},{d_2}\) trùng nhau;

(C) \({d_1}//{d_2}\);                                    (D) \({d_1},{d_2}\) chéo nhau.

Lời giải chi tiết:

\({d_1},{d_2}\) có cùng vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1,2,3} \right)\) và  \(A\left( {1,0,3} \right) \in {d_1},\) nhưng \(A \notin {d_2}.\) Vậy \({d_1}\) // \({d_2}\)
Chọn (C).

Cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + 3y + z + 1 = 0\) và đường thẳng 

\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr 
y = 2 - t \hfill \cr 
z = 2 - 3t. \hfill \cr} \right.\) Tọa độ giao điểm A của d và \(\left( \alpha  \right)\) là:

(A) A(3; 0; 4)                                   (B) \(A\left( {3; - 4;0} \right)\)

(C) \(A\left( { - 3;0;4} \right)\)                             (D) \(A\left( {3;0; - 4} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Thay x, y, z từ d vào \(\left( \alpha  \right)\) ta có: \(1 + t + 3\left( {2 - t} \right) + 2 - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 2.\)
Vậy \(A\left( {3,0, - 4} \right).\)
Chọn (D).

Cho đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = 2t \hfill \cr 
y = 1 - t \hfill \cr 
z = 2 + t. \hfill \cr} \right.\)

Phương trình nào sau đây cũng là phương trình của đường thẳng d?
(A) 

\(\left\{ \matrix{
x = 2 - 2t \hfill \cr 
y = - t \hfill \cr 
z = 3 + t\,; \hfill \cr} \right.\)

(B) 

\(\left\{ \matrix{
x = 4 - 2t \hfill \cr 
y = - 1 + t \hfill \cr 
z = 4 - t\,; \hfill \cr} \right.\)

(C) 

\(\left\{ \matrix{
x = 4 + 2t \hfill \cr 
y = 1 - t \hfill \cr 
z = 4 + t\,; \hfill \cr} \right.\)

(D) 

\(\left\{ \matrix{
x = 2t \hfill \cr 
y = 1 + t \hfill \cr 
z = 2 + t\,. \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

d đi qua \(M\left( {4, - 1,4} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;1} \right).\)
Chọn (B).

Cho hai điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right),B\left( {1;2;4} \right)\) và ba phương trình sau:

\(\left( I \right)\,\,\left\{ \matrix{
x = 2 - t \hfill \cr 
y = 3 - t \hfill \cr 
z = - 1 + 5t\,; \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {II} \right)\,\,{{x - 2} \over 1} = {{y - 3} \over 1} = {{z + 1} \over { - 5}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {III} \right)\,\,\left\{ \matrix{
x = 1 - t \hfill \cr 
y = 2 - t \hfill \cr 
z = 4 + 5t\,. \hfill \cr} \right.\)

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

(A) Chỉ có (I) là phương trình của đường thẳng AB;

(B) Chỉ có (III) là phương trình của đường thẳng AB;

(C) Chỉ có (I) và (II) là phương trình của đường thẳng AB;

(D) Cả (I), (II) và (III) là phương trình của đường thẳng AB.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1, - 1,5} \right).\)
Chọn (D).

Cho ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(1; 1; 3). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC).

Một học sinh làm như sau:

Bước 1: Tọa độ trong tâm G của tam giác ABC là

\(\left\{ \matrix{
{x_G} = {{1 + 1 + 1} \over 3} = 1 \hfill \cr 
{y_G} = {{3 + 2 + 1} \over 3} = 2 \hfill \cr 
{z_G} = {{2 + 1 + 3} \over 3} = 2. \hfill \cr} \right.\)

Bước 2: Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3;1;0} \right).\)

Bước 3:Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 - 3t \hfill \cr 
y = 2 + t \hfill \cr 
z = 2. \hfill \cr} \right.\)

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

(A) Đúng;                                    (B) Sai ở bước 1;

(C) Sai ở bước 2;                      (D) Sai ở bước 3.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {0, - 1, - 1} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {0, - 2,1} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3,0,0} \right).\)
Chọn (C).

Gọi d là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với trục Ox và vuông góc với đường thẳng

\(\Delta :\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr 
y = 2 - t \hfill \cr 
z = 1 - 3t. \hfill \cr} \right.\)

Phương trình của d là:
(A) 

\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = 3t \hfill \cr 
z = - t\,; \hfill \cr} \right.\)

(B) 

\(\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
y = - 3t \hfill \cr 
z = - t\,; \hfill \cr} \right.\)

(C) \({x \over 1} = {y \over 3} = {z \over { - 1}};\) 

(D)

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
y = - 3t \hfill \cr 
z = t\,. \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ox có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i  = \left( {1,0,0} \right).\)
\(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1, - 1, - 3} \right).\)
d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow u } \right] = \left( {0,3, - 1} \right).\)
Chọn (D).

Cho đường thẳng 

\(d:\left\{ \matrix{
x = 3 + 4t \hfill \cr 
y = - 1 - t \hfill \cr 
z = 4 + 2t\, \hfill \cr} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 3 = 0.\) Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

(A) d song song với (P);                  (B) d cắt (P);

(C) d vuông góc với (P);                   (D) d nằm trên (P).

Lời giải chi tiết:

\(A\left( {3, - 1,4} \right),B\left( { - 1,0,2} \right) \in d\) và \(A,B \in \left( P \right).\)
Chọn (D).

Cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = 6 - 4t \hfill \cr 
y = - 2 - t \hfill \cr 
z = - 1 + 2t\,. \hfill \cr} \right.\)

Hình chiếu của A trên d có tọa độ là

(A) \(\left( {2; - 3;1} \right);\)                    (B) \(\left( {2; - 3; - 1} \right);\)

(C) \((2; 3; 1)\);                          (D) \(\left( { - 2;3;1} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(H\left( {6 - 4t, - 2 - t, - 1 + 2t} \right)\) là hình chiếu của A trên d. Ta có \(\overrightarrow {AH} \)vuông góc với \(\overrightarrow u  = \left( { - 4, - 1,2} \right)\) (là vectơ chỉ phương của d).

Ta có \(\overrightarrow {AH}  = \left( {5 - 4t, - 3 - t, - 2 + 2t} \right).\)
\(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow u  = 0 \Leftrightarrow  - 4\left( {5 - 4t} \right) + 3 + t + 2\left( { - 2 + 2t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1.\)
Vậy \(H\left( {2, - 3,1} \right).\)
Chọn (A).

Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(1; 1; 0), C(0; 1; 0) và D(0; 0; 2).

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD.

Một học sinh làm như sau:

Bước 1: \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;1;0} \right),\,\,\overrightarrow {BD}  = \left( { - 1; - 1;2} \right),\,\,\overrightarrow {AB}  = \left( {0;1;0} \right).\)

Bước 2: \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {2;2;2} \right)\).

Bước 3: \(d\left( {AC,BD} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|}} = {2 \over {\sqrt {12} }} = {{\sqrt 3 } \over 3}.\)

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

(A) Đúng;                     (B) Sai ở bước 1;

(C) Sai ở bước 2;         (D) Sai ở bước 3.

Lời giải chi tiết:

Bài toán trên đúng.
Chọn (A).

Cho \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 2,\left| {\overrightarrow v } \right| = 1,\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {\pi  \over 3}.\) Góc giữa vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow u  - \overrightarrow v \) bằng:

(A) \({30^0}\)                 (B) \({45^0}\)           

(C) \({60^0}\)                 (D) \({90^0}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 2.1.{1 \over 2} = 1 \cr 
& \Rightarrow \overrightarrow v \left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right) = \overrightarrow u .\overrightarrow v - {\left| {\overrightarrow v } \right|^2} = 1 - 1 = 0 \cr 
& \Rightarrow \overrightarrow v \bot \left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right). \cr} \)

Chọn (D).

Cho \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 2,\left| {\overrightarrow v } \right| = 5,\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {\pi  \over 6}.\) Độ dài vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) bằng:

(A) 10                      (B) 5;             

(C) 8;                  (D) \(5\sqrt 3 \)

Lời giải chi tiết:

\(\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\sin \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 2.5.{1 \over 2} = 5.\)
Chọn (B).

Mặt phẳng \(2x - 3y + z - 1 = 0\) cắt các trục tọa độ tại các điểm:

(A) \(\left( {{1 \over 2};0;0} \right)\,\,,\,\,\left( {0; - {1 \over 3};0} \right)\,\,,\,\,\left( {0;0;1} \right);\)
(B) \(\left( {1;0;0} \right)\,\,,\,\,\left( {0;{1 \over 3};0} \right)\,\,,\,\,\left( {0;0;1} \right);\)
(C) \(\left( {{1 \over 2};0;0} \right)\,\,,\,\,\left( {0;{1 \over 3};0} \right)\,\,,\,\,\left( {0;0;1} \right);\)
(D) \(\left( {{1 \over 2};0;0} \right)\,\,,\,\,\left( {0; - {1 \over 3};0} \right)\,\,,\,\,\left( {0;0; - 1} \right).\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& y = z = 0 \Rightarrow x = {1 \over 2},x = z = 0 \Rightarrow y = - {1 \over 3}. \cr 
& x = y = 0 \Rightarrow z = 1. \cr} \)

Chọn (A).

Cho đường thẳng 

\(d:\left\{ \matrix{
x = - {9 \over 5} - t \hfill \cr 
y = 5t \hfill \cr 
z = {7 \over 5} + 3t\, \hfill \cr} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + 3z - 1 = 0.\) Gọi d’ là hình chiếu của d trên (P). Trong các vectơ sau, vectơ nào không phải là vectơ chỉ phương của d’ ?

(A) \(\left( {5; - 51;39} \right);\)

(B) \(\left( {10; - 102; - 78} \right);\)

(C) \(\left( { - 5;51;39} \right);\)

(D) \(\left( {5;51;39} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Vì ba vectơ của (A), (B), (C) cùng phương nên chọn (D).

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A’B’, BC, DD’. Chứng minh rằng \(AC' \bot \left( {MNP} \right).\)

Một học sinh làm như sau:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình 71;

Khi đó A(0; 0; 0), C’(1; 1; 1),

\(M = \left( {{1 \over 2};0;1} \right),N\left( {1;{1 \over 2};0} \right),P\left( {0;1;{1 \over 2}} \right).\)
Bước 2: \(\overrightarrow {AC'}  = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {MN}  = \left( {{1 \over 2};{1 \over 2}; - 1} \right),\overrightarrow {MP}  = \left( { - {1 \over 2};1; - {1 \over 2}} \right).\)

Bước 3: 

\(\left\{ \matrix{
\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MN} = 0 \hfill \cr 
\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MP} = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow AC' \bot \left( {MNP} \right).\)

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

(A) Đúng;                             (B) Sai ở bước 1;

(C) Sai ở bước 2;                           (D) Sai ở bước 3.

Lời giải chi tiết:

Bài toán trên giải đúng

chọn A

Cho đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
y = t \hfill \cr 
z = 2 - t. \hfill \cr} \right.\)

Phương trình đường vuông góc chung của d và trục Ox là:
(A) 

\(\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
y = t \hfill \cr 
z = t\,; \hfill \cr} \right.\)

(B) 

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
y = 2t \hfill \cr 
z = t\,; \hfill \cr} \right.\)

(C)

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
y = 2 - t \hfill \cr 
z = t\,; \hfill \cr} \right.\)

(D) 

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
y = t \hfill \cr 
z = t\,. \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình tham số của trục Ox là

\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = 0 \hfill \cr 
z = 0 \hfill \cr} \right.\)

Lấy \(P\left( {0,t,2 - t} \right) \in d\) và \(Q'\left( {t',0,0} \right) \in {\rm{Ox}}{\rm{.}}\)
\(\overrightarrow {PQ}  = \left( {t', - t,t - 2} \right),\) d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {0,1, - 1} \right).\)
PQ là đường vuông góc chung của d và trục Ox

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow u = 0 \hfill \cr 
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow i = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- t - t + 2 = 0 \hfill \cr 
t' = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = 1 \hfill \cr 
t' = 0 \hfill \cr} \right..\)

Vậy \(P\left( {0,1,1} \right),Q\left( {0,0,0} \right).\)
PQ có phương trình

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
y = t \hfill \cr 
z = t \hfill \cr} \right..\)

Chọn (D).

Cho mặt phẳng (P): \(x - 2y - 3z + 14 = 0\) và điểm \(M\left( {1; - 1;1} \right)\). Tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua mp(P) là

(A) \(\left( { - 1;3;7} \right);\)                   

(B) \(\left( {1; - 3;7} \right);\)

(C) \(\left( {2; - 3; - 2} \right);\) 

(D) \(\left( {2; - 1;1} \right).\)

Lời giải chi tiết:

(P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1, - 2, - 3} \right).\)
\(M'\left( {x,y,z} \right)\) đối xứng với M qua mp(P) khi và chỉ khi  \(\overrightarrow {MM'} \) cùng phương với \(\overrightarrow n \) và trung điểm I của MM’ nằm trên (P).
Ta có hệ:

\(\left\{ \matrix{
{{x - 1} \over 1} = {{y + 1} \over { - 2}} = {{z - 1} \over { - 3}} \hfill \cr 
{{x + 1} \over 2} - 2{{y - 1} \over 2} - 3{{z + 1} \over 2} + 14 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
y = 3 \hfill \cr 
z = 7 \hfill \cr} \right..\)

Chọn (A).

Cho điểm \(A\left( {0; - 1;3} \right)\) và đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr 
y = 2 \hfill \cr 
z = - t\,. \hfill \cr} \right.\)

Khoảng cách từ A đến d bằng:

(A) \(\sqrt 3 ;\)             (B) \(\sqrt {14} ;\)                 

(C) \(\sqrt 6 ;\)              (D) \(\sqrt 8 .\)

Lời giải chi tiết:

d đi qua \(M(1, 2, 0)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2,0, - 1} \right).\)
Khoảng cách từ A đến d bằng \({{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {14} .\)
Chọn (B).

Cho điểm \(M\left( { - 1;2; - 3} \right).\) Gọi \({M_1},{M_2},{M_3}\) lần lượt là điểm đối xứng của M qua các mặt phẳng (Oxy), (Oxz), (Oyz). Phương trình \(mp\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) là:

(A) \(6x + 2y + 3z + 6 = 0;\) 

(B) \(6x - 2y + 3z + 6 = 0;\)

(C) \(6x - 3y + 2z + 6 = 0;\)

(D) \(6x - 3y - 2z + 6 = 0.\)

Lời giải chi tiết:

\({M_1}\left( { - 1,2,3} \right),{M_2}\left( { - 1, - 2, - 3} \right),{M_3}\left( {1,2, - 3} \right);mp\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) qua có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right].\)
Chọn (C).

Cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 49.\) Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) ?

(A) \(6x + 2y + 3z = 0;\)

(B) \(2x + 3y + 6z - 5 = 0;\)

(C) \(6x + 2y + 3z - 55 = 0;\) 

(D) \(x + 2y + 2z - 7 = 0.\)

Lời giải chi tiết:

(S) có tâm \(I\left( {1, - 3,2} \right),\) bán kính R = 7.
\(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 7.\)
Chọn (C).

Cho mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0.\) Trong ba điểm (0; 0; 0); (1; 2; 3), (2; -1; -1), có bao nhiêu điểm nằm trong mặt cầu (S) ?

(A) 0 ;                         (B) 1 ;                   

(C) 2 ;                         (D) 3.

Lời giải chi tiết:

Lần lượt thay tọa độ ba điểm đã cho vào (S). Ta có \(O \in \left( S \right).\)

Chọn (B).