Bài 6 trang 175 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác DEF cân tại D. Gọi I là trung điểm của EF.

a) Chứng minh rằng \(\Delta DIE = \Delta DIF.\)

b) Kẻ \(IM \bot DE(M \in DE),IN \bot DF(N \in DF).\)  Chứng minh rằng \(\Delta IMN\) cân.

c) Chứng minh rằng MN // EF.

d) Chứng minh rằng

\(2I{N^2} = D{F^2} - D{N^2} - N{F^2}.\)

Lời giải chi tiết

 

a)Xét tam giác DIE và DIF ta có:

DI là cạnh chung

IE = IF (I là trung điểm của EF)

DE = DF (tam giác DEF cân tại D)

Do đó: \(\Delta DIE = \Delta DIF(c.g.c).\)

b) Xét tam giác MDI vuông tại M và tam giác NDI vuông tại N có:

DI là cạnh chung.

\(\widehat {MDI} = \widehat {NDI}(\Delta DIE = \Delta DIF)\)

Do đó:   (cạnh huyền - góc nhọn) => IM = IN.

Vậy tam giác IMN cân tại I.

c) Ta có: \(DM = DN(\Delta MDI = \Delta NDI) \Rightarrow \Delta DMN\)  cân tại D \(\Rightarrow \widehat {DMN} = \widehat {DNM}\)

Mà \(\widehat {DMN} + \widehat {DNM} + \widehat {MDN} = {180^0}\)   (tổng ba góc trong một tam giác)

Do đó: \(\widehat {DMN} = {{{{180}^0} - \widehat {MDN}} \over 2}(1)\)

Ta có: \(\widehat {DEF} = \widehat {DFE}(\Delta DEF\)  cân tại D)

Mà \(\widehat {DEF} + \widehat {DFE} + \widehat {EDF} = {180^0}\)   (tổng ba góc trong một tam giác)

Do đó: \(\widehat {DEF} = {{{{180}^0} - \widehat {EDF}} \over 2} = {{{{180}^0} - \widehat {MDN}} \over 2}(2)\)

Tà (1) và (2) suy ra: \(\widehat {DMN} = \widehat {DEF}\)

Mà hai góc DMN và DEF đồng vị. Do đó: MN // EF.

d) Ta có: \(\widehat {DIE} = \widehat {DIF}(\Delta DIE = \Delta DIF)\)

Mà \(\widehat {DIE} + \widehat {DIF} = {180^0}\)   (kề bù). Do đó: \(\widehat {DIF} + \widehat {DIF} = {180^0} \Rightarrow 2\widehat {DIF} = {180^0} \Rightarrow \widehat {DIF} = {90^0}\)

Tam giác IDF vuông tại I\(\Rightarrow I{D^2} + I{F^2} = D{F^2}\)    (định lí Pythagore)

Tam giác NDI vuông tại N \(\Rightarrow I{N^2} + D{N^2} = I{D^2} \Rightarrow I{N^2} = I{D^2} - D{N^2}\)   (định lí Pythagore)

Tam giác NIF vuông tại N  \(I{N^2} + N{F^2} = I{F^2} \Rightarrow I{N^2} = I{F^2} - N{F^2}\)  (định lí Pythagore)

Do đó: \(2N{I^2} = I{D^2} - D{N^2} + I{F^2} - N{F^2} = (I{D^2} + I{F^2}) - D{N^2} - N{F^2} = D{F^2} - D{N^2} - N{F^2}\)