Bài 7 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau và vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0;3;6} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;0;1} \right)\).

Đường thẳng d’ đi qua \(M'\left( {2;1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'}  = \left( {1; - 1; - 1} \right)\).
Ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MM'} = \left( {2; - 2; - 4} \right)\,;\cr &\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {1;2; - 1} \right) \cr 
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} = 2 - 4 + 4 = 2 \ne 0. \cr} \)

Vậy d và d’ chéo nhau.
Ta có \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'}  = 1 + 0 - 1 = 0 \) \(\Rightarrow d \bot d'.\)

Viết phương trình mp(P) đi qua d và vuông góc với d’, phương trình mp(Q) đi qua d’ và vuông góc với d.

Lời giải chi tiết:

Mp(P) đi qua \(M\left( {0;3;6} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'}  = \left( {1; - 1; - 1} \right)\) nên ta có phương trình:

\(x - \left( {y - 3} \right) - \left( {z - 6} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x - y - z + 9 = 0\)

Mp(Q) đi qua \(M'\left( {2;1;2} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;0;1} \right)\) nên có phương trình: \(\left( {x - 2} \right) + z - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow x + z - 4 = 0\)

Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d và d’.

Lời giải chi tiết:

Đường vuông góc chung \(\Delta \) của d và d’ là giao tuyến của mp(P) và mp(Q) nên

\(\Delta :\left\{ \matrix{
x - y - z + 9 = 0 \hfill \cr 
x + z - 4 = 0 \hfill \cr} \right.\).

Cho x = 0 ta có y = 5 và z = 4. Suy ra A(0; 5; 4)\( \in \Delta \) , \(\Delta \) có vectơ chỉ phương

\(\overrightarrow v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
- 1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr 
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 1\,\,\,\,1 \hfill \cr 
1\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr 
1\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( { - 1; - 2;1} \right)\)

Phương trình chính tắc của \(\Delta :\,{x \over { - 1}} = {{y - 5} \over { - 2}} = {{z - 4} \over 1}\)