Bài 7 trang 145 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn (gọi tâm của nó là O).

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(CE \bot AB \Rightarrow \widehat {AEH} = {90^0}\)

\(\Rightarrow E\) thuộc đường tròn đường kính AH.

\(BD \bot AC \Rightarrow \widehat {ADH} = {90^0} \Rightarrow D\) thuộc đường tròn đường kính AH.

\( \Rightarrow \) 4 điểm \(A,\,\,D,\,\,H,\,\,E\) cùng thuộc đừng tròn đường kính AH, O là tâm của đường tròn đường kính AH \( \Rightarrow O\) là trung điểm của \(AH\).

b) Kéo dài AH cắt BC tại F. Do H là trực tâm của tam giác ABC \( \Rightarrow AF \bot BC\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {FAB} + \widehat {ABC} = {90^0}\\\widehat {BCE} + \widehat {ABC} = {90^0}\end{array} \right. \)\(\;\Rightarrow \widehat {FAB} = \widehat {BCE}\) (1).

Lại có : \(\Delta OAE\) cân tại O \(\left( {OA = OE} \right) \Rightarrow \widehat {FAB} = \widehat {OEA}\) (2)

\(\Delta MEC\) cân tại M \(\left( {ME = \dfrac{1}{2}BC = MC} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {BCE} = \widehat {MEC}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \widehat {OEA} = \widehat {MEC}\).

Mà \(\widehat {OEA} + \widehat {OEH} = \widehat {AEH} = {90^0}\)

\(\Rightarrow \widehat {MEC} + \widehat {OEH} = {90^0}\)

\(\Rightarrow \widehat {OEM} = {90^0}\).

\( \Rightarrow ME \bot OE\) tại E. Mà OE là bán kính của \(\left( O \right)\).

Vậy ME là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại E.