GIẢI TÍCH - TOÁN 12 NÂNG CAO

Bài 76 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao

Lựa chọn câu hỏi để xem giải nhanh hơn
LG a
LG b
LG c
LG d

Giải phương trình:

Lựa chọn câu hỏi để xem giải nhanh hơn
LG a
LG b
LG c
LG d

LG a

\({4^{ - {1 \over x}}} + {6^{ - {1 \over x}}} = {9^{ - {1 \over x}}}\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ne 0\)

Chia hai vế phương trình cho \({4^{ - {1 \over x}}}\) ta được:

\(1 + \frac{{{6^{ - \frac{1}{x}}}}}{{{4^{ - \frac{1}{x}}}}} = \frac{{{9^{ - \frac{1}{x}}}}}{{{4^{ - \frac{1}{x}}}}}\) \( \Leftrightarrow 1 + {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - {1 \over x}}} = {\left( {{9 \over 4}} \right)^{ - {1 \over x}}}\)

Đặt \(t = {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - {1 \over x}}}\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có phương trình: 

\({t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \hfill \cr 
t = {{1 - \sqrt 5 } \over 2}\,\,\left(\text{loại} \right) \hfill \cr} \right.\) 

\(\eqalign{
& t = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \Rightarrow {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - {1 \over x}}} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \cr&\Leftrightarrow - {1 \over x} = {\log _{{3 \over 2}}}{{1 + \sqrt 5 } \over 2} \cr 
&  \Leftrightarrow {1 \over x} = -{\log _{{3 \over 2}}}{\left( {{{1 + \sqrt 5 } \over 2}} \right)}  \cr} \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{ - 1}}}}\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _{\frac{2}{3}}}\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow x = \frac{1}{{{{\log }_{\frac{2}{3}}}\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}}
\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ \frac{1}{{{{\log }_{\frac{2}{3}}}\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}}  \right\}\)

Cách khác:

Cách em cũng có thể chia cả hai vế của phương trình cho \({9^{ - \frac{1}{x}}} > 0\) ta được: \({\left( {\frac{4}{9}} \right)^{ - \frac{1}{x}}} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - \frac{1}{x}}} = 1\)

Đặt \(t = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - \frac{1}{x}}} > 0\) ta được:

\({t^2} + t - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\left( {TM} \right)\\t = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - \frac{1}{x}}} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\ \Leftrightarrow  - \frac{1}{x} = {\log _{\frac{2}{3}}}\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{x} =  - {\log _{\frac{2}{3}}}\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _{\frac{2}{3}}}{\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{ - 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _{\frac{2}{3}}}\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{{{{\log }_{\frac{2}{3}}}\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}}\end{array}\)

LG b

\(\eqalign{
{4^{\ln x + 1}} - {6^{\ln x}} - {2.3^{\ln {x^2} + 2}} = 0; \cr } \)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0\)

\({4^{\ln x + 1}} - {6^{\ln x}} - {2.3^{\ln {x^2} + 2}} = 0 \)

\(\Leftrightarrow {4.4^{\ln x}} - {6^{\ln x}} - {18.9^{\ln x}} = 0\)

Chia hai vế của phương trình cho \({4^{\ln x}}\), ta được:

\(4 - {\left( {{3 \over 2}} \right)^{\ln x}} - 18{\left( {{9 \over 4}} \right)^{\ln x}} = 0\)

Đặt \(t = {\left( {{3 \over 2}} \right)^{\ln x}}\,\,\left( {t > 0} \right)\)

Ta có: 

\(4 - t - 18{t^2} = 0 \) \(\Leftrightarrow 18{t^2} + t - 4 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {4 \over 9} \hfill \cr 
t = - {1 \over 2}\,\left( \text{loại} \right) \hfill \cr} \right.\)

\(t = {4 \over 9} \Leftrightarrow {\left( {{3 \over 2}} \right)^{\ln x}} = {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - 2}}\)

\(\Leftrightarrow \ln x =  - 2 \Leftrightarrow x = {e^{ - 2}}\)

Vậy \(S = \left\{ {{e^{ - 2}}} \right\}\)

Chú ý:

Tương tự câu a, cũng có thể chia cả hai vế cho \(9^{\ln x}\).

LG c

\(\eqalign{
3\sqrt {{{\log }_2}x} - {\log _2}8x + 1 = 0; \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \({\log _2}x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)

\(3\sqrt {{{\log }_2}x} \, - {\log _2}8x + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 3\sqrt {{{\log }_2}x}  - \left( {{{\log }_2}8 + {{\log }_2}x} \right) + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 3\sqrt {{{\log }_2}x}  - \left( {3 + {{\log }_2}x} \right) + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow 3\sqrt {{{\log }_2}x} -{\log _2}x -2 = 0\)

Đặt \(t = \sqrt {{{\log }_2}x} \,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow {\log _2}x = {t^2}\)

Ta có phương trình: \(3t  - {t^2} -2 = 0\)                               

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr 
t = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sqrt {{{\log }_2}x} = 1 \hfill \cr 
\sqrt {{{\log }_2}x} = 2 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 1 \hfill \cr 
{\log _2}x = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr 
x = {2^4} = 16 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {2;16} \right\}\)

LG d

\(\eqalign{
\log _{{1 \over 2}}^2\left( {4x} \right) + {\log _2}{{{x^2}} \over 8} = 8. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0\). Với điều kiện ta có:

\(\eqalign{
& \log _{{1 \over 2}}^2\left( {4x} \right) = {\left( {\log _{{1 \over 2}}4 + \log _{{1 \over 2}}x} \right)^2} \cr&= \left( { - 2 - {{\log }_2}x} \right)^2 = {\left( {2 + {{\log }_2}x} \right)^2} \cr 
& {\log _2}{{{x^2}} \over 8} = {\log _2}{x^2} - {\log _2}8 \cr&= 2{\log _2}x - 3 \cr} \)

Ta có phương trình: \({\left( {{{\log }_2}x + 2} \right)^2} + 2{\log _2}x - 3 = 8\)

Đặt \(t = {\log _2}x\) ta được: \({\left( {t + 2} \right)^2} + 2t - 3 = 8\)

\( \Leftrightarrow {t^2} + 4t + 4 + 2t - 11 = 0 \)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {t^2} + 6t - 7 = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr 
t = - 7 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 1 \hfill \cr 
{\log _2}x = - 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr 
x = {2^{ - 7}} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {2;{2^{ - 7}}} \right\}\)

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Báo cáo nội dung câu hỏi
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved