Bài 76 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao

\({4^{ - {1 \over x}}} + {6^{ - {1 \over x}}} = {9^{ - {1 \over x}}}\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ne 0\)

Chia hai vế phương trình cho \({4^{ - {1 \over x}}}\) ta được:

\(1 + \frac{{{6^{ - \frac{1}{x}}}}}{{{4^{ - \frac{1}{x}}}}} = \frac{{{9^{ - \frac{1}{x}}}}}{{{4^{ - \frac{1}{x}}}}}\) \( \Leftrightarrow 1 + {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - {1 \over x}}} = {\left( {{9 \over 4}} \right)^{ - {1 \over x}}}\)

Đặt \(t = {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - {1 \over x}}}\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có phương trình: 

\({t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \hfill \cr 
t = {{1 - \sqrt 5 } \over 2}\,\,\left(\text{loại} \right) \hfill \cr} \right.\) 

\(\eqalign{
& t = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \Rightarrow {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - {1 \over x}}} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \cr&\Leftrightarrow - {1 \over x} = {\log _{{3 \over 2}}}{{1 + \sqrt 5 } \over 2} \cr 
&  \Leftrightarrow {1 \over x} = -{\log _{{3 \over 2}}}{\left( {{{1 + \sqrt 5 } \over 2}} \right)}  \cr} \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{ - 1}}}}\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _{\frac{2}{3}}}\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow x = \frac{1}{{{{\log }_{\frac{2}{3}}}\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}}
\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ \frac{1}{{{{\log }_{\frac{2}{3}}}\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}}  \right\}\)

Cách khác:

Cách em cũng có thể chia cả hai vế của phương trình cho \({9^{ - \frac{1}{x}}} > 0\) ta được: \({\left( {\frac{4}{9}} \right)^{ - \frac{1}{x}}} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - \frac{1}{x}}} = 1\)

Đặt \(t = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - \frac{1}{x}}} > 0\) ta được:

\({t^2} + t - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\left( {TM} \right)\\t = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - \frac{1}{x}}} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\ \Leftrightarrow  - \frac{1}{x} = {\log _{\frac{2}{3}}}\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{x} =  - {\log _{\frac{2}{3}}}\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _{\frac{2}{3}}}{\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{ - 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _{\frac{2}{3}}}\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{{{{\log }_{\frac{2}{3}}}\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}}\end{array}\)

\(\eqalign{
{4^{\ln x + 1}} - {6^{\ln x}} - {2.3^{\ln {x^2} + 2}} = 0; \cr } \)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0\)

\({4^{\ln x + 1}} - {6^{\ln x}} - {2.3^{\ln {x^2} + 2}} = 0 \)

\(\Leftrightarrow {4.4^{\ln x}} - {6^{\ln x}} - {18.9^{\ln x}} = 0\)

Chia hai vế của phương trình cho \({4^{\ln x}}\), ta được:

\(4 - {\left( {{3 \over 2}} \right)^{\ln x}} - 18{\left( {{9 \over 4}} \right)^{\ln x}} = 0\)

Đặt \(t = {\left( {{3 \over 2}} \right)^{\ln x}}\,\,\left( {t > 0} \right)\)

Ta có: 

\(4 - t - 18{t^2} = 0 \) \(\Leftrightarrow 18{t^2} + t - 4 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {4 \over 9} \hfill \cr 
t = - {1 \over 2}\,\left( \text{loại} \right) \hfill \cr} \right.\)

\(t = {4 \over 9} \Leftrightarrow {\left( {{3 \over 2}} \right)^{\ln x}} = {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - 2}}\)

\(\Leftrightarrow \ln x =  - 2 \Leftrightarrow x = {e^{ - 2}}\)

Vậy \(S = \left\{ {{e^{ - 2}}} \right\}\)

Chú ý:

Tương tự câu a, cũng có thể chia cả hai vế cho \(9^{\ln x}\).

\(\eqalign{
3\sqrt {{{\log }_2}x} - {\log _2}8x + 1 = 0; \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \({\log _2}x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)

\(3\sqrt {{{\log }_2}x} \, - {\log _2}8x + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 3\sqrt {{{\log }_2}x}  - \left( {{{\log }_2}8 + {{\log }_2}x} \right) + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 3\sqrt {{{\log }_2}x}  - \left( {3 + {{\log }_2}x} \right) + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow 3\sqrt {{{\log }_2}x} -{\log _2}x -2 = 0\)

Đặt \(t = \sqrt {{{\log }_2}x} \,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow {\log _2}x = {t^2}\)

Ta có phương trình: \(3t  - {t^2} -2 = 0\)                               

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr 
t = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sqrt {{{\log }_2}x} = 1 \hfill \cr 
\sqrt {{{\log }_2}x} = 2 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 1 \hfill \cr 
{\log _2}x = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr 
x = {2^4} = 16 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {2;16} \right\}\)

\(\eqalign{
\log _{{1 \over 2}}^2\left( {4x} \right) + {\log _2}{{{x^2}} \over 8} = 8. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0\). Với điều kiện ta có:

\(\eqalign{
& \log _{{1 \over 2}}^2\left( {4x} \right) = {\left( {\log _{{1 \over 2}}4 + \log _{{1 \over 2}}x} \right)^2} \cr&= \left( { - 2 - {{\log }_2}x} \right)^2 = {\left( {2 + {{\log }_2}x} \right)^2} \cr 
& {\log _2}{{{x^2}} \over 8} = {\log _2}{x^2} - {\log _2}8 \cr&= 2{\log _2}x - 3 \cr} \)

Ta có phương trình: \({\left( {{{\log }_2}x + 2} \right)^2} + 2{\log _2}x - 3 = 8\)

Đặt \(t = {\log _2}x\) ta được: \({\left( {t + 2} \right)^2} + 2t - 3 = 8\)

\( \Leftrightarrow {t^2} + 4t + 4 + 2t - 11 = 0 \)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {t^2} + 6t - 7 = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr 
t = - 7 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 1 \hfill \cr 
{\log _2}x = - 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr 
x = {2^{ - 7}} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {2;{2^{ - 7}}} \right\}\)