Bài 8 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; 5; 3), B(4; 2; -5), C(5; 5; -1) và D(1; 2; 4).
a) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
b) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D . Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C và tìm khoảng cách từu điểm D tới mặt phẳng đó.
d) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu (S).
e) Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và các mặt phẳng tọa độ.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \left( {3, - 3, - 8} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4,0, - 4} \right). \cr 
& \overrightarrow {AD} = \left( {0, - 3,1} \right) \cr 
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]= \left( {12, - 20,12} \right), \cr & \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 72 \ne 0. \cr} \)

Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
b) Giả sử mặt cầu (S) có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz = 0\).
Vì \(A,B,C,D \in \left( S \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
1 + 25 + 9 - 2a - 10b - 6c + d = 0 \hfill \cr 
16 + 4 + 25 - 8a - 4b + 10c + d = 0 \hfill \cr 
1 + 4 + 16 - 2a - 4b - 8c + d = 0 \hfill \cr} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \matrix{
3a - 3b - 8c = 5 \hfill \cr 
a - c = 2 \hfill \cr 
- 3b + c = - 7 \hfill \cr} \right. \) \(\Rightarrow \left\{ \matrix{
a = 1 \hfill \cr 
b = 2 \hfill \cr 
c = - 1 \hfill \cr 
d = - 19 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 2z - 19 = 0.\)
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1,2, - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {1 + 4 + 1 + 19}  = 5.\)
c) Mp(ABC) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12, - 20,12} \right) \) \(= 4\left( {3, - 5,3} \right).\)
Mp(ABC) đi qua \(A\left( {1,5,3} \right)\) nên có phương trình:

\(3\left( {x - 1} \right) - 5\left( {y - 5} \right) + 3\left( {z - 3} \right)=0 \) \(\Leftrightarrow 3x - 5y + 3z + 13 = 0.\)

Khoảng cách từ D đến mp(ABC) là: \(h = {{\left| {3.1 - 5.2 + 3.4 + 13} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {5^2} + {3^2}} }} = {{18} \over {\sqrt {43} }}\).
d) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với CD có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {CD}  = \left( { - 4, - 3,5} \right)\) nên có phương trình:
\( - 4x - 3y + 5z + d = 0.\)
Mặt phẳng đó tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm \(I\left( {1,2, - 1} \right)\) của mặt cầu(S) tới mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) bằng 5, tức là:

\({{\left| { - 4.1 - 3.2 - 5.1 + d} \right|} \over {\sqrt {16 + 9 + 25} }} = 5 \) \(\Leftrightarrow {{\left| { - 15 + d} \right|} \over {\sqrt {50} }} = 5 \Leftrightarrow d = 15 \pm 25\sqrt 2 .\)

Vậy \(\left( \alpha  \right): - 4x - 2y + 5z + 15 \pm 25\sqrt 2  = 0.\)

e) Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1,2, - 1} \right)\), mp(Oxy) có phương trình là z = 0. Khoảng cách từ điểm I đến mp(Oxy) là \({d_1} = \left| { - 1} \right| = 1 < R\) nên (S) cắt mặt phẳng theo đường tròn có bán kính là \({r_1} = \sqrt {{R^2} - d_1^2}  = \sqrt {25 - 1}  = 2\sqrt 6 .\)

Tương tự mp(Oyz) có phương trình là x = 0. Khoảng cách từ tâm I đến mp(Oyz) là \({d_2} = \left| 1 \right| = 1 < R\) nên (S) cắt mp(Oyz) theo đường tròn có bán kính là \({r_2} = \sqrt {{R^2} - d_2^2}  = \sqrt {25 - 1}  = 2\sqrt 6 .\)

Tương tự mp(Oxz) có phương trình là y = 0. Khoảng cách từ tâm I đến mp(Oxz) là \({d_3} = \left| 2 \right| = 2 < R\) nên (S) cắt mp(Oyz) theo đường tròn có bán kính là \({r_3} = \sqrt {{R^2} - d_3^2}  = \sqrt {25 - 4}  = \sqrt {21} .\)