Bài 97 trang 132 SGK giải tích 12 nâng cao

\(\eqalign{
{{1 - {{\log }_4}x} \over {1 + {{\log }_2}x}} \le {1 \over 2}\,; \cr } \)

Lời giải chi tiết:

ĐK: x > 0

Ta có \({\log _4}x = {1 \over 2}{\log _2}x\). Đặt \(t = {\log _2}x\)

Ta có bất phương trình:

\(\eqalign{
& {{1 - {1 \over 2}t} \over {1 + t}} - {1 \over 2} \le 0\cr& \Leftrightarrow {{2 - t - 1 - t} \over {2\left( {1 + t} \right)}} \le 0 \Leftrightarrow {{1 - 2t} \over {1 + t}} \le 0 \cr 
& \Leftrightarrow t < - 1\,\,\text{ hoặc }\,\,t \ge {1 \over 2}\cr& \Leftrightarrow {\log _2}x < - 1\,\,\text{ hoặc }\,\,{\log _2}x \ge {1 \over 2} \cr 
& \Leftrightarrow 0 < x < {1 \over 2}\,\,\text{ hoặc }\,\,x \ge \sqrt 2 \cr} \)

Vậy \(S = \left( {0;{1 \over 2}} \right) \cup \left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\)

Chú ý:

Các em cũng có thể đặt \({\log _4}x = t \) \(\Rightarrow {\log _2}x = 2{\log _4}x = 2t\) và được bất phương trình:

\(\begin{array}{l}
\frac{{1 - t}}{{1 + 2t}} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{1 - t}}{{1 + 2t}} - \frac{1}{2} \le 0\\
\Leftrightarrow \frac{{2 - 2t - 1 - 2t}}{{2\left( {1 + 2t} \right)}} \le 0\\
\Leftrightarrow \frac{{1 - 4t}}{{2\left( {1 + 2t} \right)}} \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t \ge \frac{1}{4}\\
t < - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\log _4}x \ge \frac{1}{4}\\
{\log _4}x < - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge {4^{\frac{1}{4}}} = {2^{\frac{1}{2}}} = \sqrt 2 \\
x < {4^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{{4^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge \sqrt 2 \\
x < \frac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)

\({\log _{{1 \over {\sqrt 5 }}}}\left( {{6^{x + 1}} - {{36}^x}} \right) \ge  - 2;\)

Lời giải chi tiết:

 Ta có \({\log _{{1 \over {\sqrt 5 }}}}\left( {{6^{x + 1}} - {{36}^x}} \right) \ge  - 2\)

\( \Leftrightarrow 0 < {6^{x + 1}} - {36^x} \le {\left( {{1 \over {\sqrt 5 }}} \right)^{ - 2}} = 5 \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{6.6^x} - {36^x} > 0 \hfill \cr 
{6.6^x} - {36^x} \le 5 \hfill \cr} \right.\)

Đặt \(t = {6^x}\,\,\left( {t > 0} \right)\). Ta có hệ:

\(\left\{ \matrix{
6t - {t^2} > 0 \hfill \cr 
{t^2} - 6t + 5 \ge 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 < t < 6 \hfill \cr 
t \le 1\,\,\text{ hoặc }\,\,t \ge 5 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
0 < t \le 1 \hfill \cr 
5 \le t < 6 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{6^x} \le 1 \hfill \cr 
5 \le {6^x} < 6 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr 
{\log _6}5 \le x < 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {{{\log }_6}5;1} \right)\)

Cách trình bày khác:

ĐK: \({6^{x + 1}} - {36^x} > 0\) \( \Leftrightarrow {6.6^x} - {6^{2x}} > 0 \) \( \Leftrightarrow 6 - {6^x} > 0 \) \(  \Leftrightarrow {6^x} < 6 \Leftrightarrow x < 1\)

Khi đó, hệ bpt

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {6^{x + 1}} - {36^x} \le {\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^{ - 2}} = 5\\
\Leftrightarrow {6.6^x} - {\left( {{6^x}} \right)^2} \le 5\\
\Leftrightarrow {\left( {{6^x}} \right)^2} - {6.6^x} + 5 \ge 0\\
\end{array}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{6^x} \ge 5\\
{6^x} \le 1
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge {\log _6}5\\
x \le 0
\end{array} \right.\)

Kết hợp ĐK ta được 

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr 
{\log _6}5 \le x < 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {{{\log }_6}5;1} \right)\)

\({\log _{{1 \over 5}}}\left( {{x^2} - 6x + 18} \right) \) \(+ 2{\log _5}\left( {x - 4} \right) < 0.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: 

\(\left\{ \matrix{
{x^2} - 6x + 18 > 0 \hfill \cr 
x - 4 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x > 4\)

\(\eqalign{
& {\log _{{1 \over 5}}}\left( {{x^2} - 6x + 18} \right) + 2{\log _5}\left( {x - 4} \right) < 0\cr&\Leftrightarrow  - {\log _5}\left( {{x^2} - 6x + 18} \right) + {\log _5}{\left( {x - 4} \right)^2} < 0\cr& \Leftrightarrow {\log _5}{\left( {x - 4} \right)^2} < {\log _5}\left( {{x^2} - 6x + 18} \right) \cr 
&  \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} < {x^2} - 6x + 18\cr& \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 < {x^2} - 6x + 18\cr& \Leftrightarrow  - 2x < 2\cr& \Leftrightarrow x >- 1 \cr} \)

Kết hợp điều kiện ta có \(x > 4\)

Vậy \(S = \left( {4; + \infty } \right)\)