Câu 1 trang 113 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho \(\overrightarrow {MA}  =  - 2\overrightarrow {MB} ,\,\overrightarrow {N{\rm{D}}}  =  - 2\overrightarrow {NC} \). Các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho \(\overrightarrow {IA}  = k\overrightarrow {I{\rm{D}}} ,\,\overrightarrow {JM}  = k\overrightarrow {JN} ,\,\overrightarrow {KB}  = k\overrightarrow {KC} \). Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Cách 1.

Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MJ} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)  \cr  & \overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {ID}  + \overrightarrow {DN}  + \overrightarrow {NJ} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \)

Từ (2) ta có:

\(\eqalign{  & k\overrightarrow {IJ}  = k\overrightarrow {ID}  + k\overrightarrow {DN}  + k\overrightarrow {NJ}   \cr  & hay\,\,\,k\overrightarrow {IJ}= \overrightarrow{IA} + k\overrightarrow {DN}  + \overrightarrow {MJ} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \cr} \)

Từ (1), (3) ta có:

\(\eqalign{  & \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {AM}  - k\overrightarrow {DN}   \cr  & hay\,\,\overrightarrow {IJ}  = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow {AM}  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow {DN}  \cr} \)

Chứng minh tương tự như trên, ta có:

\(\overrightarrow {JK}  = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow {MB}  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow {NC} \)

Mặt khác  \(\overrightarrow {MA}  =  - 2\overrightarrow {MB} ,\,\,\,\overrightarrow {N{\rm{D}}}  =  - 2\overrightarrow {NC} \)

nên \(\overrightarrow {IJ}  = {2 \over {1 - k}}\overrightarrow {MB}  - {{2k} \over {1 - k}}\overrightarrow {NC} \).

Từ đó, ta có \(\overrightarrow {IJ}  = 2\overrightarrow {IK} \)

Vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Cách 2.

Vì \(\overrightarrow {MA}  =  - 2\overrightarrow {MB} \)

nên với điểm O bất kì thì \(\overrightarrow {OM}  = {{\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB} } \over 3}\).

Tương tự

\(\eqalign{  & \overrightarrow {ON}  = {{\overrightarrow {O{\rm{D}}}  + 2\overrightarrow {OC} } \over 3};\,\,\,\overrightarrow {OI}  = {{\overrightarrow {OA}  - k\overrightarrow {O{\rm{D}}} } \over {1 - k}};  \cr  & \overrightarrow {OK}  = {{\overrightarrow {OB}  - k\overrightarrow {OC} } \over {1 - k}};\,\,\overrightarrow {OJ}  = {{\overrightarrow {OM}  - k\overrightarrow {ON} } \over {1 - k}}. \cr} \)

Từ đó, ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {OJ}  = {1 \over {1 - k}}.{1 \over 3}\left( {\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB}  - k\overrightarrow {OD}  - 2k\overrightarrow {OC} } \right)  \cr  &  = {1 \over {1 - k}}.{1 \over 3}\left[ {\left( {1 - k} \right)\overrightarrow {OI}  + 2\left( {1 - k} \right)\overrightarrow {OK} } \right]  \cr  &  = {1 \over 3}(\overrightarrow {OI}  + 2\overrightarrow {OK} ) = {1 \over 3}\overrightarrow {OI}  + {2 \over 3}\overrightarrow {OK} . \cr} \)

Mặt khác \({1 \over 3} + {2 \over 3} = 1\).

Vậy 3 điểm I, J, K thẳng hàng.