Câu 9 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình tứ diện ABCD; I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD; M là điểm thuộc AC sao cho \(\overrightarrow {MA}  = {k_1}\overrightarrow {MC} \) ; N là điểm thuộc BD sao cho \(\overrightarrow {NB}  = {k_2}\overrightarrow {N{\rm{D}}} \) . Chứng minh rằng các điểm I, J, M, N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi k₁ = k₂.

Lời giải chi tiết

Vì \(\overrightarrow {MA}  = {k_1}\overrightarrow {MC} \)

nên \(\overrightarrow {IM}  = {{\overrightarrow {IA}  - {k_1}\overrightarrow {IC} } \over {1 - {k_1}}}\)

Tương tự, ta có:

\(\overrightarrow {IN}  = {{\overrightarrow {IB}  - {k_2}\overrightarrow {I{\rm{D}}} } \over {1 - {k_2}}} = {{ - \overrightarrow {IA}  - {k_2}\overrightarrow {I{\rm{D}}} } \over {1 - {k_2}}}\)

Mặt khác: \(\overrightarrow {IJ}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID} } \right)\)

Để các điểm I, I, M, N thuộc một mặt phẳng, điều kiện cần và đủ là ba vectơ \(\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow {IN} ,\overrightarrow {IJ} \) đồng phẳng. Rõ ràng là \(\overrightarrow {IN} \)  và ­\(\overrightarrow {IJ} \)  không cùng phương nên điều khẳng định \(\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow {IN} ,\overrightarrow {IJ} \)  đồng phẳng tương đương với

\(\overrightarrow {IM}  = p\overrightarrow {IN}  + q\overrightarrow {IJ} \)

hay

\(\eqalign{  & {{\overrightarrow {IA}  - {k_1}\overrightarrow {IC} } \over {1 - {k_1}}} = p.{{ - \overrightarrow {IA}  - {k_2}\overrightarrow {ID} } \over {1 - {k_2}}} + {q \over 2}\left( {\overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID} } \right)  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {{1 \over {1 - {k_1}}} + {p \over {1 - {k_2}}}} \right)\overrightarrow {IA}  - \left( {{{{k_1}} \over {1 - {k_1}}} + {q \over 2}} \right)\overrightarrow {IC} \cr& + \left( {{{p{k_2}} \over {1 - {k_2}}} - {q \over 2}} \right)\overrightarrow {ID}  = \overrightarrow 0  \cr} \)

Do \(\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IC} ,\overrightarrow {ID} \) không đồng phẳng nên đẳng thức trên tương đương với

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{  {1 \over {1 - {k_1}}} + {p \over {1 - {k_2}}} = 0 \hfill \cr  {{{k_1}} \over {1 - {k_1}}} + {q \over 2} = 0 \hfill \cr  {{p{k_2}} \over {1 - {k_2}}} - {q \over 2} = 0 \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \Rightarrow {{{k_1}} \over {1 - {k_1}}} =  - {{p{k_2}} \over {1 - {k_2}}} = {{{k_2}} \over {1 - {k_1}}} \cr} \)

hay k₁ = k₂