Câu 3 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB’ và A’C’. Điểm K thuộc B’C’ sao cho \(\overrightarrow {KC'}  =  - 2\overrightarrow {KB'} \) . Chứng minh rằng bốn điểm A, I, J, K cùng thuộc một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Đặt \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow c .\)

Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AI}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB'} } \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)  \cr  & \overrightarrow {AJ}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AC'} } \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow a  + \overrightarrow c } \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {2\overrightarrow a  + \overrightarrow c } \right).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)  \cr  & \overrightarrow {AK}  = {{\overrightarrow {AC'}  + 2\overrightarrow {AB'} } \over 3}  \cr  &  = {{\overrightarrow a  + \overrightarrow c  + 2\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)} \over 3}  \cr  &  = {{3\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \over 3}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \cr} \)

Từ (1), (2), (3) ta có \(\overrightarrow {AK}  = {2 \over 3}\left( {\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {AJ} } \right)\)

Vậy \(\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AJ} ,\overrightarrow {AK} \) đồng phẳng, tức là các điểm A, I, J, K cùng thuộc một mặt phẳng.

Chú ý: Có thể chứng minh các điểm A, I, J, K thuộc một mặt phẳng bằng cách chứng minh AI và JK cắt nhau tại điểm M.