Đề bài
Cho cấp số nhân \(({u_n})\) với công bội \(q \in \left( {0;1} \right).\) Hãy tính tổng 25 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó, biết rằng \({u_1} + {u_3} = 3\) và \(u_1^2 + u_3^2 = 5\).
Lời giải chi tiết
Ta có
\(\left\{ \matrix{
{u_1} + {u_3} = 3 \hfill \cr
u_1^2 + u_3^2 = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}\left( {1 + {q^2}} \right) = 3\,\,\,(1) \hfill \cr
u_1^2\left( {1 + {q^4}} \right) = 5 \hfill \cr} \right.\,\,(I)\)
Từ (1) suy ra \(u_1>0\). Do đó:
\((I) \Leftrightarrow\left\{ \matrix{
{u_1}.(1 + {q^2}) = 3 \hfill \cr
2{q^4} - 5{q^2} + 2 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}.(1 + {q^2}) = 3 \hfill \cr
q = {1 \over {\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {do\,\,q \in \left( {0;1} \right)} \right)\, \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1} = 2 \hfill \cr
q = {1 \over {\sqrt 2 }} \hfill \cr} \right.\)
Từ đó, kí hiệu S là tổng cần tính, ta được
\(S = 2 \times {{1 - {{\left( {{1 \over {\sqrt 2 }}} \right)}^{25}}} \over {1 - \left( {{1 \over {\sqrt 2 }}} \right)}} = {{8191 + 4095.\sqrt 2 } \over {2048}}\)
Chuyên đề 1. Dinh dưỡng khoáng - Tăng năng suất cây trồng và nông nghiệp sạch
Unit 8: Cties
Unit 8: Becoming independent
Unit 1: Generations
Chủ đề 5. Một số cuộc cải cách lớn trong lịch sử Việt Nam (trước năm 1858)
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11