Câu 4.20 trang 136 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng nếu dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ không có giới hạn hữu hạn với mọi số $c \ne 0,$ dãy $\left( {c{u_n}} \right)$ cũng không có giới hạn hữu hạn

Lời giải chi tiết:

 Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left( {{v_n}} \right)$ không có giới hạn hữu hạn. Có thể kết luận rằng dãy số $\left( {{u_n} + {v_n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn không ?

Lời giải chi tiết:

Dãy $\left( {{u_n} + {v_n}} \right)$ có thể có giới hạn hoặc không có giới hạn hữu hạn. Chẳng hạn hai dãy  số $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left( {{v_n}} \right)$ với ${u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}$ và ${v_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}$ đều không có giới hạn hữu hạn, nhưng dãy số $\left( {{u_n} + {v_n}} \right)$ là dãy số có giới hạn hữu hạn (${u_n} + {v_n} = 0$ với mọi n)

Nếu $\left( {{u_n}} \right)$ là một dãy số không có giới hạn hữu hạn thì dãy số $\left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \left( {2{u_n}} \right)$ không có giới hạn hữu hạn.