Đề bài
Gọi (C) là đồ thị của hàm số
\(y = f\left( x \right) =- {x^4} + 2{x^2} + x\)
Chứng minh rằng, tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1;0) cũng là tiếp tuyến của (C) tại một điểm khác. Tìm các tọa độ của tiếp điểm đó.
Lời giải chi tiết
Trước hết ta hãy viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm \(A\left( { - 1;0} \right)\)
Ta có
\(f'\left( x \right) = - 4{x^3} + 4x + 1\left( {\forall x \in R} \right).\)
Với \({x_0} = - 1,f\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì \(f'\left( {{x_0}} \right) = 1\), do đó phương trình tiếp tuyến phải tìm là
\(y = x + 1.\,\,\,\,(T)\)
Để tiếp tuyến (T) cũng là một tiếp tuyến của (C) tại một điểm \(B\left( {{x_1};f\left( {{x_1}} \right)} \right)\) khác điểm \(A\left( { - 1;0} \right)\) thì điều kiện cần và đủ là (T) phải cát đồ thị (C) tại B (tức là ta phải có \(f\left( x \right) = x + 1\) ) đồng thời hệ số góc của tiếp tuyến tại B phải bằng hệ số góc của tiếp tuyến (T) (tức là ta phải có \(f'\left( x \right) = 1\) ). Tóm lại ta phải giải hệ thống phương trình
\(\left\{ \matrix{f\left( x \right) = x + 1 \hfill \cr f'\left( x \right) = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{- {x^4} + 2{x^2} + x = x + 1 \hfill \cr- 4{x^3} + 4x + 1 = 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Nghiệm của hệ thống này chính là hoành độ các tiếp tuyến của (T) với đồ thị (C).
Giải hệ (*), ta được \(x = \pm 1\)
Với \({x_0} = - 1\), ta được tiếp điểm \(A\left( { - 1;0} \right)\)
Với \({x_0} = 1\), ta được tiếp điểm \(B\left( {1;2} \right)\)
Vậy đường thẳng \(y = x + 1\) vừa là tiếp tuyến của (C) tại điểm \(A\left( { - 1;0} \right)\), vừa là tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm \(B\left( {1;2} \right) \ne A\left( { - 1;0} \right).\)
Bài 10: Công thức phân tử hợp chất hữu cơ
Bài giảng ôn luyện kiến thức cuối học kì 2 môn Vật lí lớp 11
CHƯƠNG 5: HIDROCACBON NO
SBT tiếng Anh 11 mới tập 1
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 (ĐỀ THI HỌC KÌ 2) - VẬT LÍ 11
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11