Câu hỏi 7 - Mục Bài tập trang 94

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI).

2. Phương pháp giải

Sử dụng tính chất trung điểm.

3. Lời giải chi tiết

+) Xét tam giác BCD có: I là trung điểm của CD nên BI là đường trung tuyến.

Mà M là trọng tâm tam giác BCD nên BI đi qua M.

Do đó M ∈ BI.

Lại có AI ⊂ (ABI) nên M ∈ (ABI).

+) Xét tam giác ACD có: I là trung điểm của CD nên AI là đường trung tuyến.

Mà N là trọng tâm tam giác ACD nên AI đi qua N.

Do đó N ∈ AI.

Lại có BI ⊂ (ABI) nên N ∈ (ABI).

1. Nội dung câu hỏi

Gọi G là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: $\frac{GM}{GA}=\frac{GN}{GB}=\frac{1}{3}$.

2. Phương pháp giải

Sử dụng tính chất trọng tâm trong tam giác và định lí Thales.

3. Lời giải chi tiết

Trong $\Delta \mathrm{BCD}$ có M là trọng tâm tam giác nên $\frac{MI}{BI}=\frac{1}{3}$.
Trong $\Delta \mathrm{ACD}$ có $\mathrm{N}$ là trọng tâm tam giác nên $\frac{NI}{AI}=\frac{1}{3}$.
Quảng cáo
Xét $\Delta \mathrm{ABI}$ có: $\frac{NI}{AI}=\frac{MI}{BI}=\frac{1}{3}$ nên $\mathrm{MN}//\mathrm{AB}$(theo định lí Thalès đảo).
Xét $\Delta \mathrm{ABI}$ và $\mathrm{MN}//\mathrm{AB}$, theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{MN}{AB}=\frac{NI}{AI}=\frac{MI}{BI}=\frac{1}{3}$.
Xét $∆\mathrm{ABG}$ và $\mathrm{MN}//\mathrm{AB}$, theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{GM}{GA}=\frac{GN}{GB}=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{3}$.

1. Nội dung câu hỏi

Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G và $\frac{GP}{GC}=\frac{GQ}{GD}=\frac{1}{3}$.

2. Phương pháp giải

Sử dụng tính chất trọng tâm trong tam giác và định lí Thales.

3. Lời giải chi tiết

- Gọi G’ là giao điểm của AM và CP; G’’ là giao điểm của AM và DQ.

Chứng minh tương tự câu b, ta có: $\frac{G^{\text{'}}M}{G^{\text{'}}A}=\frac{G^{\text{'}}P}{G^{\text{'}}C}=\frac{PM}{AC}=\frac{1}{3}$ và $\frac{G^{\text{'}\text{'}}M}{G^{\text{'}\text{'}}A}=\frac{G^{\text{'}\text{'}}Q}{G^{\text{'}\text{'}}D}=\frac{QM}{AD}=\frac{1}{3}$

Do đó $\frac{GM}{GA}=\frac{G^{\text{'}}M}{G^{\text{'}}A}=\frac{G^{\text{'}\text{'}}M}{G^{\text{'}}A}=\frac{1}{3}$.

Mà G, G’, G’’ cùng nằm trên AM nên G ≡ G’ ≡ G’’.

Vậy các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G.

- Xét tam giác ABC, kẻ đường trung tuyến AE (E ∈ BC).

Ta có: Q là trọng tâm DABC nên $\frac{AQ}{AE}=\frac{2}{3}$.

Xét tam giác ABD, kẻ đường trung tuyến AF (F ∈ BD).

Ta có: P là trọng tâm $∆\mathrm{ABD}$ nên $\frac{AP}{AF}=\frac{2}{3}$.

+) Trong mặt phẳng (AEF), có: $\frac{AQ}{AE}=\frac{AP}{AF}=\frac{2}{3}$ nên $\mathrm{PQ}//\mathrm{EF}$ (định lí Thalès đảo)
Mà $\mathrm{EF}//\mathrm{CD}$ (đường trung bình tam giác $\mathrm{BCD}$ ).
Suy ra $\mathrm{PQ}//\mathrm{CD}$
Theo hệ quả định lí Thalès ta có: $\frac{GP}{GC}=\frac{GQ}{GD}=\frac{QP}{CD}=\frac{QP}{2EF}=\frac{1}{2}·\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$.