Cho đường tròn (O; R) đường kính BC. Lấy A là điểm chính giữa của cung BC. D là điểm di động trên cung AC, AD cắt BC tại E. Xác định vị trí điểm D để \(2AD + AE\) nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

+Số đo góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

+Số đo góc nội tiếp bằng nửa cung bị chắn

+ Tam giác đồng dạng

+ Định lý Py-ta go

+BĐT Cô-si cho 2 số dương

Lời giải chi tiết

Ta có :

\(\widehat {AEC} = \dfrac{{sd\overparen{AB} - sd\overparen{CD}} }{ 2} \)\(\,= \dfrac{{sd\overparen{AC} - sd\overparen{CD}}}{ 2} = \dfrac{{sd\overparen{AD}} }{ 2}\) ( vì \(\overparen{AB} = \overparen{AC}\) )

Lại có \(\widehat {ACD} = \dfrac{{sd\overparen{AD}}}{2} \Rightarrow \widehat {AEC} = \widehat {ACD}\)

\( \Rightarrow ∆ACD\) và \(∆AEC\) đồng dạng (g.g)

\( \Rightarrow \dfrac{{AD} }{ {AC}} =\dfrac {{AC} }{{AE}} \Rightarrow A{C^2} = AD.AE\)

\(∆ABC\) vuông cân ( chắn nửa đường tròn) có \(BC = 2R.\)

Đặt \(AB = AC = x.\)

Theo định lí Py-ta-go:

\(\eqalign{
& {x^2} + {x^2} = {\left( {2R} \right)^2} \Rightarrow 2{x^2} = 4{R^2} \cr
& \Rightarrow {x^2} = 2{R^2} \Rightarrow x = R\sqrt 2 \cr} \)

Vậy \(AB = AC = R\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow {\left( {R\sqrt 2 } \right)^2} = AD.AE \)

\(\Rightarrow AD.AE = 2{R^2}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có :

\(2AD + AE \ge 2\sqrt {2AD.AE} \)

\(2AD + AE \ge 4R\)

Dấu “ = ” xảy ra \( \Leftrightarrow 2AD = AE = 2R\)

Do đó khi D thuộc cung AC sao cho \(AD = R \) thì \(2AD + AE\) nhỏ nhất.

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Bài 6. Cung chứa góc

Bài 7. Tứ giác nội tiếp

Bài 8. Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

Bài 9. Độ dài đường tròn, cung tròn

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024