Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 3 - Chương 4 - Hình học 9

Đề bài

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây CD sao cho CD //AB và \(CD = R\sqrt 3 \).

a)   Tính diện tích hình thang ABDC.

b)  Tính thể tích của hình được sinh ra khi quay hình thang ABDC quanh AB.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Công thức tính diện tích hình thang: \(S = \frac{{\left( {a + b} \right).h}}{2}\)

Công thức tính thể tích hình nón : \({V_n} = {1 \over 3}\pi {R^2}h \)

Công thức tính thể tích hình trụ: \({V_t} = \pi {R^2}h\)

(Thể tích của hình sinh ra là :\(V = {V_t} + 2{V_n}\))


 


 

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có : \(CD = R\sqrt 3 \left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {COD} = 120^\circ \)

 ∆COD cân tại O \( \Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}} = 30^\circ \)

CD // AB (gt) \( \Rightarrow \widehat {{O_1}} = \widehat {{C_1}} = 30^\circ \) (so le trong)

Kẻ CH vuông góc với AB tại H, ta có ∆CHO vuông, có \(\widehat {{O_1}} = 30^\circ \) nên \(CH = CO.\sin 30^\circ  = {R \over 2}\)

Vậy \({S_{ABDC}} = {{\left( {AB + CD} \right).CH} \over 2} = {{\left( {2R + R\sqrt 3 } \right).{R \over 2}} \over 2} \)\(\;= {{{R^2}\left( {2 + \sqrt 3 } \right)} \over 4}\).

b) Khi quay hình thang ABDC quanh cạnh đáy AB ta được hình sinh ra gồm một hình trụ có bán kính đáy là \(CH = {R \over 2}\), chiều cao \(CD = R\sqrt 3 \) và hai hình nón bằng nhau có bán kính đáy là \(CH = {R \over 2}\) và chiều cao AH.

Trong tam giác vuông CHO, ta có :

\(HO = \sqrt {C{O^2} - C{H^2}}  = \sqrt {{R^2} - {{\left( {{R \over 2}} \right)}^2}}  \)\(\;= {{R\sqrt 3 } \over 2}\)

\( \Rightarrow AH = AO - HO = R - {{R\sqrt 3 } \over 2} \)\(\;= {{R\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \over 2}\)

Vậy ta gọi Vn là thể tích hình nón.

\({V_n} = {1 \over 3}\pi {R^2}h = {1 \over 3}\pi .C{H^2}.AH\)\(\; = {1 \over 3}\pi {\left( {{R \over 2}} \right)^2}.{{R\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \over 2} = {{\pi {R^3}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \over {24}}\)

Do đó hai hình tròn bằng nhau có thể tích là : \(2{V_n} = {{\pi {R^3}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \over {12}}\)

 Và gọi Vt là thể tích hình trụ :

\({V_t} = \pi {R^2}h = \pi .C{H^2}.CD \)\(\;= \pi {\left( {{R \over 2}} \right)^2}.R\sqrt 3  = {{\pi {R^3}\sqrt 3 } \over 4}\)

Vậy thể tích của hình sinh ra là :

 

\(V = {V_t} + 2{V_n} = {{\pi {R^3}\sqrt 3 } \over 4} + {{\pi {R^3}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \over {12}}\)

\(\;\;\;\; = {{3\pi {R^3}\sqrt 3  + 2\pi {R^3} - \pi {R^3}\sqrt 3 } \over {12}} = {{2\pi {R^3}\sqrt 3  + 2\pi {R^3}} \over {12}} \)

\(\;\;\;\;= {{\pi {R^3}\left( {\sqrt 3  + 1} \right)} \over 6}\).

 

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved
gift-box
survey
survey

Chatbot GPT

timi-livechat
Đặt câu hỏi