Bài 1 trang 40

Đề bài

Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi $$.

a) $$

b) $$

c) $$

Lời giải chi tiết

a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với $$ ta có $$

Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp $$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $$, nghĩa là có:

Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với $$, nghĩa là cần chứng minh

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

Vậy đẳng thức đúng với $$.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi $$.

b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với $$ ta có $$

Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp $$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $$, nghĩa là có:

Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với $$, nghĩa là cần chứng minh

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

Vậy đẳng thức đúng với $$.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi $$.

c) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với $$ ta có $$

Vậy đẳng thức đúng với $$

Giải sử đẳng thức đúng với $$ tức là ta có $$

Ta chứng minh đẳng thức đúng với $$ tức là chứng minh  $$

Thật vậy, ta có

Vậy đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên $$.