1. Nội dung câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng \(d:x + y = 2\) cắt trục hoành tại điểm A và cắt đường thẳng \({d_n}:y = \frac{{2n + 1}}{n}x\) tại điểm \({P_n}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\). Kí hiệu \({S_n}\) là diện tích của tam giác \(OA{P_n}\). Tính \(\lim {S_n}\).
2. Phương pháp giải
+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho \(\lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b\) và c là hằng số: \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b\), \(\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.a\), \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\).
+ Sử dụng kiến thức về một số giới hạn cơ bản để tính: \(\lim {q^n} = 0\) (q là số thực, \(\left| q \right| < 1\)), \(\lim c = c\) (c là hằng số).
3. Lời giải chi tiết
Ta có: \(A\left( {0;2} \right);OA = 2;\widehat {OA{P_n}} = {45^0}\)
Vì P là giao điểm của \({d_n}\) và d nên tọa độ của P là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\y = \frac{{2n + 1}}{n}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{{2n + 1}}{n}x = 2\\y = \frac{{2n + 1}}{n}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x.\frac{{3n + 1}}{n} = 2\\y = \frac{{2n + 1}}{n}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2n}}{{3n + 1}}\\y = \frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}\end{array} \right.\)
Do đó, \({P_n}\left( {\frac{{2n}}{{3n + 1}};\frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}} \right)\)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của \({P_n}\) trên trục Ox.
Khi đó: \({P_n}H = \left| {\frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}} \right| = \frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}\left( {do\;n \in \mathbb{N}*} \right)\)
Diện tích tam giác \(OA{P_n}\) là: \({S_n} = \frac{1}{2}.OA.{P_n}H = \frac{1}{2}.2.\frac{{4n + 2}}{{3n + 1}} = \frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}\)
\(\lim {S_n} = \lim \frac{{4n + 2}}{{3n + 1}} = \lim \frac{{4 + \frac{2}{n}}}{{3 + \frac{1}{n}}} = \frac{4}{3}\).
Chương 6. Lịch sử bảo vệ chủ quyền, các quyền và lợi ích hợp pháp của Việt Nam ở Biển Đông
Unit 10: Travel
Chuyên đề 1: Phân bón
PHẦN 2. LỊCH SỬ THẾ GIỚI HIỆN ĐẠI (Phần từ năm 1917 đến năm 1945)
Chuyên đề 2: Một số vấn đề về pháp luật dân sự
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11