Bài 1.60 trang 36 SBT giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Xét sự biến thiên.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực.

+ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.

+ Tìm cực trị (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định:D=R,

* Chiều biến thiên:

+) $\underset{x\to +\infty }{lim}y=+\infty ,\underset{x\to -\infty }{lim}y=-\infty$

+) $y^{\text{'}}=\frac{3}{4}{x}^2-3x$;

y′=0 ⇔$\iff \frac{3}{4}{x}^2-3x=0$ $\iff \frac{3x^2-12x}{4}=0$ $\iff 3x^2-12x=0$ $\iff 3x\left(x-4\right)=0$ $\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=4\end{array}$

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;0),(4;+\infty )$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;4.

Hàm số đạt cực đại tại x=0, $y_{CD}$=5. Hàm số đạt cực tiểu tại x=4, $y_{CT}$=−3.

Bảng biên thiên:

* Đồ thị:

+) Đồ thị đi qua các điểm A(−2;−3); B(6;5) và cắt trục Oy tại điểm (0;5).

+) $y^{\text{'}\text{'}}=\frac{3}{2}x-3=0$ ⇔x=2⇒y=1 suy ra điểm uốn U(2;1).

+) Vẽ đồ thị:

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $x^3-6x^2+m=0$ có 3 nghiệm thực phân biệt.

                                                                                                     (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2010)

Phương pháp giải:

- Biến đổi phương trình về $\frac{1}{4}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+5=5-\frac{m}{4}$.

- Sử dụng tương quan giữa số nghiệm của phương trình và số giao điểm của đường thẳng $y=5-\frac{m}{4}$ với đồ thị hàm số vừa vẽ ở ý a để suy ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

$x^3-6x^2+m=0$     (1)

$\iff x^3-6x^2=-m$ $\iff \frac{1}{4}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2=-\frac{m}{4}$$\iff \frac{1}{4}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+5=5-\frac{m}{4}$

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình (1) bằng số giao điểm phân biệt của đồ thị (C) và đường thẳng (d):$y=5-\frac{m}{4}$

Suy ra (1) có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $-3<5-\frac{m}{4}<5$

$\iff -8<-\frac{m}{4}<0$ ⇔−32<−m<0 ⇔0<m<32.